4D 편집하기

'''4D'''(포디, Fourth Dimension)란 4개의 차원으로 이루어진 임의의 공간이다. '''4차원'''이라고도 한다. 수식어로서 [[3차원]]에 사는 일반인은 이해할 수 없는 무엇이라는 뜻을 가지기도 한다. 4차원은 학문의 관점에 따라 4차원의 네 번째 차원에 대한 해석이 다른데, 주로 공간 차원 4개로 구성된 4차원 공간 또는 공간 3차원에 시간 1차원이 합쳐진 4차원 시공간으로 쓰인다.

== 개념 ==
=== 공간 ===
공간의 사전적 정의는 어떤 물질 또는 물체가 존재할 수 있거나 어떤 일이 일어날 수 있는 장소이다.<ref name='공간위키'> 〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B5%EA%B0%84 공간]〉, 《위키백과》</ref> 공간은 거리와 길이, 각도를 반영한 좌표계를 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한<ref> 〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%EA%B3%B5%EA%B0%84 유클리드 공간]〉, 《위키백과》</ref> 수학에서의 유클리드 공간을 비롯해 관점에 따라 다양하게 존재한다. 주로 물리학, 천문학, 수학, 불교, 철학 등으로 나뉘며, 같은 분야에서도 공간에 대한 정의는 여러 의미와 종류로 나뉠 수 있다.<ref name='공간위키'/> 이때 4차원에서 말하는 공간은 물리학적 현실에 존재할 수 없다.<ref name='4D위키'> 〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4%EC%B0%A8%EC%9B%90 4차원]〉, 《위키백과》</ref> 

=== 차원 ===
어떠한 공간에 대해 차원이라고 하는 것은 그 공간의 성분 중 서로에게 영향을 미치지 않고 독립적으로 움직일 수 있는 성분들의 최대 개수이다. 즉 서로 영향을 끼치지 않는 4가지 성분을 나타낼 수 있으면 그것은 4차원이다. 학문에 따라 4차원이 다르게 해석되는 것도 바로 이 특징 때문이다. 네 번째 차원은 독립적으로 작용되는 것이라면 무엇이든 될 수 있다. 성분을 [[데이터]]로 하여 예로 들어 생각해보면 어떤 사람 A에 대한 수치 데이터를 다룬다고 가정한다. 이때 이 사람의 키, 몸무게, 가족 수, 재산을 통계로 만들면 A라는 사람은 (172cm, 64kg, 4명, 5억 원)이라는 4개의 숫자 쌍으로 정의할 수 있다. 이때 각각의 정보는 서로 영향을 주지 않는 독립된 정보이다. 따라서 위와 같이 나타낸 순서쌍은 4차원 데이터라고 할 수 있다.<ref name = '4D나무'> 〈[https://namu.wiki/w/4%EC%B0%A8%EC%9B%90 4차원]〉, 《나무위키》</ref> 기하학적으로 예를 들면 [[3차원]]은 3개의 직선이 앞뒤, 좌우, 위아래의 3가지 방향으로 자유롭게 움직일 수 있는 공간을 뜻하며, 마찬가지로 적용하면 4차원은 수직선 4개가 서로 직교하는 공간이다. 이때 4차원은 평면에 그릴 수 없고 머릿속으로 상상만 할 수 있다.<ref name='수학산책'>〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3566872&cid=58944&categoryId=58970 4차원 세계의 모습]〉, 《네이버 지식백과》</ref>

=== 4차원 공간 ===
수직선 4개가 직교하는 공간이라는 것은 좌표축이 4개 있다는 것과 같다. 즉, 4차원은 한 점에 한 점에 막대 4개를 모두 서로 직교하게 놓을 수 있어야 한다. 하지만 우리가 사는 세상은 3차원이므로 이는 불가능한 일이다. 종이 안의 구면 좌표계에 사람 알파가 살고 있다고 가정했을 때, 그 사람은 좌표축 3개가 직교된 모습을 그릴 수 있다. 하지만 그려진 3개의 좌표축에 모두 수직인 직선은 어떻게 해도 그릴 수 없다. 이때 종이 밖에 있는 현실의 사람인 베타가 막대를 가져와 종이에 그려진 좌표의 원점에 수직으로 세운다. 그럼 베타의 입장에서는 종이 안에서 직교하고 있는 3개의 좌표축 모두와 수직인 직선을 세운 셈이다. 이때 종이 위에 세운 막대가 바로 네 번째 좌표축이 되고 알파에 베타가 있는 공간은 4차원이다. 우주를 4차원이라고 한다. 하지만 사실 3차원 공간에 1차원 시간을 더한 물리학 단어인 4차원 시공간이며 4차원 공간이 아니다. 4차원 공간의 모습을 상상하기 힘든 이유는 바로 우리가 3차원 공간에서 살고 있으며, 4차원 공간을 직접 본 적이 없기 때문이다. 또한 일상생활에서 4차원을 그려야 할 일도 없어 4차원 공간의 모습이 쉽게 떠오르는 것이 오히려 신기한 일이다. 따라서 4차원 도형을 구현한 영상을 보아도 3차원 물체가 연결된 채로 원운동과 자유 변형까지 하는 것을 알아보는 것은 매우 힘든 일이다.<ref name = '4D나무'/>

=== 4차원 시공간 ===
물리학에서는 4차원 축을 시간으로 나타낸다. 즉 3차원 공간상 물체의 시간을 따라 움직이는 자취가 물체의 4차원상 개념이 된다. 예를 들어 끌어당기는대로 늘어나는 길이가 3cm인 선이 있다 가정했을 때, 이 선을 3cm만큼 수직 방향으로 잡아 늘이면 넓이가 9cm²(3×3)의 평면이 만들어진다. 이 평면을 다시 평면에 수직 방향으로 3cm 잡아 늘이면 27cm³(3×3×3)의 정육면체가 된다. 그러나 이때 3초 동안 잡아 늘이면 81 cm³s(3×3×3×3)짜리 타임 큐브가 된다. 하지만 이 개념은 수학적으로 표현될 경우, 시간축이 실수축, 공간의 3차원은 각각 순허수축으로 취급된다. 따라서 4차원을 의미하는 R⁴가 아닌 (iR)³×R이라는 복잡한 형태로 표현된다.<ref name = '4D나무'/> 반면 상대성이론에서 시간과 공간은 대칭적으로 얽혀있다. 공간을 나타내는 좌표인 (x,y,z)와 시간 t가 따로 있지 않고 서로 어울려 있다. 따라서 어떤 사건을 기술할 때 위치와 시간을 함께 지정한 (x, y, z, t)로 표현하는 방식이 옳다. 이때 4개의 좌표 성분이 필요하므로 이것을 4차원이라고 부르는 것이다. 기존에 공간이라고 칭하던 것을 시간이 더해졌으므로 시공간(space-time)이라고 부르며 물체의 운동은 이러한 4차원의 시공간에서 기술된다.<ref name='4차원시공간'> 최무영 서울대 교수, 〈[https://www.pressian.com/pages/articles/55457#0DKU 4차원 시공간]〉, 《프레시안》, 2008-04-04</ref> 네 번째 차원을 시간으로 갖는 좌표계를 시공간 연속체(spacetime continuum)라고 부른다. 현대 물리학 중에서도 상대성 이론에서는 우주가 시공간 연속체라고 가정한다.<ref name = '4D나무'/> 우주를 한자로 표현하면 시간을 뜻하는 우(宇)와 마찬가지로 공간을 뜻하는 주(宙)가 사용되는데, 우주라는 말 자체에 시공간이라는 의미가 포함되어있는 것이다.<ref name='4차원시공간'/> 우주의 모든 입자는 시공간 연속체 내에서 움직임에 따라 크게 세 가지로 나뉜다.
* '''타르디온'''(tardyon) : 광자를 제외한 모든 입자를 일컫는다. 물질이라고 일컫는 모든 것은 타르디온에 속한다. 항상 시간축 방향으로 광속으로 이동하고 있으며, 나머지 세 가지 방향인 공간축(x,y,z)로는 자유롭게 이동할 수 있으나 그 속도가 광속 이상이 될 수 없다.
* '''룩손'''(luxon) : 광자를 비롯한 질량이 0인 입자를 일컫는다. 유일한 룩손은 광자이다. 글루온도 질량은 0이지만 독립 상태로 관찰되지 않고 강입자의 일부로만 존재하기 때문에 룩손으로 분류되지 않는다. 룩손은 시간축 방향으로 전혀 움직이지 않으며, 공간축으로는 항상 광속으로 이동한다. 따라서 룩손은 시간과 거리라는 현상을 경험하지 않는다. 거리는 공간축상의 한 지점에서 다른 지점까지 이동할 때 걸리는 시간을 속도와 곱한 것 이기 때문에 룩손은 경과 시간이 0이므로 거리 또한 0이 된다. 따라서 룩송의 입장에서는 광속의 속도를 갖지만, 제삼자가 룩손의 공간축상 이동을 관찰하면 입자의 운동이 아닌 파동으로 관찰된다.
* '''타키온'''(tachyon) : 질량이 허수, 즉 질량의 제곱이 0보다 작은 가공의 입자를 일컫는다. 타르디온과 반대되는 성질을 갖는다. 시간축으로는 타르디온과 역방향으로 항상 광속으로 이동하고 나머지 세 가지 방향인 공간축(x,y,z)으로는 항상 초광속으로 이동하며 이동 속도가 광속보다 크다. 타키온은 관찰된 적이 없어 실존하지 않아 가상의 개념으로만 사용된다. 시공간 연속체에서의 네 번째 차원은 시간이지만, 물리학에서 모든 네 번째 차원으로 시간이 사용되는 것은 아니다. 6차원인 위상 공간(phase space)은 좌표로 (x, y, z, Px, Py, Pz)으로 나타내고, 여기서 네 번째 차원인 Px는 시간이 아닌 입자의 X축상 모멘텀이다.<ref name = '4D나무'/>

===특수상대성이론===
[[특수상대성이론]]을 이야기할 때면 으레 들려오는 말이 4차원이다. 알려진 대로 1차원은 선, 2차원은 평면, 3차원은 우리가 사는 공간이다. 이러한 선, 면, 입체의 특정한 점을 표시하기 위해서는 각각 1, 2, 3개의 다른 숫자가 필요하다. 특수상대성이론의 4차원이란 우리가 사는 3차원 공간의 점을 표시하는 세 개의 숫자 이외에 시간을 더 첨가하여 네 개의 숫자가 필요하다는 의미에서의 4차원이다. 뉴턴 역학에서도 물체의 운동을 기술하려면 각 시각에 대해서 물체의 위치를 표시해야 하므로 네 개의 숫자가 필요하다. 하지만 뉴턴 역학에서는 공간과 시간 사이에 전혀 연관성이 없기 때문에 이러한 4차원의 개념이 중요하지 않았다. 반면 특수상대성이론에서는 공간과 시간 사이에 불가분의 관계가 있기 때문에 4차원의 개념이 중요하다. 이때 중요한 것이 거리의 개념이다. 막대의 한 점에서 다른 점 사이를 잇는 거리는 피타고라스의 공식에 의해서 주어진다. 이 두 점 사이의 거리는 이 두 점을 재는 데 사용한 좌표계와 상관없이 일정하다. 두 점 사이의 거리를 재는 데 사용한 좌표계를 회전시킨다고 해도 두 점 사이의 거리는 변하지 않는다. 마찬가지로 아인슈타인의 특수상대성이론에서는 시간과 공간을 동시에 고려한 거리의 개념, 즉 4차원 시공간에서의 거리의 개념이 중요하다. 4차원 시공간에서의 거리는 시간축을 포함하고 있기 때문에 상상하기 힘들다. 4차원 시공간에서의 점은 '사건'이라고 불린다. A가 아침 아홉시에 학교 정문에 있었다면, 3차원 공간에서의 교문이라는 공간의 위치와 아침 아홉시라는 시간을 명시해야만 4차원 공간의 한 점을 표시할 수 있다. 이러한 4차원 시공간의 두 점 또는 두 사건에 대해서 우리는 3차원에서 했던 것처럼 거리라는 개념을 정의할 수 있다. 차이점은 3차원에서의 거리는 언제나 0보다 크지만 4차원 시공간에서는 거리가 양수도 음수도 될 수 있다는 점이다. '거리'라는 단어 대신 '유사 거리'라는 단어를 사용하는 것이 더 적합할 것이다. 하지만 4차원에서의 거리도 3차원에서처럼 적당한 좌표계의 회전에 대해서 불변한다. 한 좌표계가 다른 좌표계에 대해서 등속으로 움직이는 경우도 좌표계의 회전으로 간주할 수 있다는 점이다. 이때의 회전은 시간축과 공간축의 회전이다. 3차원 공간에서 사용하는 거리, 좌표계의 회전이라는 말을 4차원의 시공간에 사용한다는 것이 이상하게 들릴 것이다. 그러나 이처럼 3차원의 기하학적 구조가 4차원의 시공간에도 존재한다는 것은 매우 중요한 발견이었다. 이를 처음 발견한 사람은 수학자 밍코브스키(Minkowski)이고, 아인슈타인의 특수상대성이론이 성립하는 공간을 밍코브스키 공간이라고 부른다. 4차원 시공간에서의 거리 개념과 이 거리가 특정한 4차원 좌표계의 회전에 대해서 불변한다는 사실로부터 특수상대성이론의 모든 결과를 유도할 수 있다. 이러한 관점에서 보면 아인슈타인의 특수상대성이론은 4차원 시공간의 기하학적 구조에 관한 이론이라고도 말할 수 있다. 이러한 기하학적 관점은 특히 아인슈타인의 일반상대성이론의 형성에 중요한 역할을 한다.<ref name="박재모">박재모 외 1인, 〈[https://terms.naver.com/list.naver?cid=42071&categoryId=42071 초끈이론 (아인슈타인의 꿈을 찾아서)]〉, 《㈜살림출판사》, 2004-09-30</ref>

== 4차원 입체도형 ==
4차원에서 재현되는 도형을 보다 쉽게 이해하기 위해선 0차원에서 시작해 4차원까지 직관적으로 차원을 확장해나가야 한다. 먼저 수학에서의 0차원은 점이다. 0차원은 독립적으로 움직일 수 있는 성분이 존재하지 않기 때문에, 어떤 방향으로도 움직일 수 없고 단지 위치 값만을 가진다. 점을 한 방향으로 늘리면 1차원 도형인 선분이 된다. 이렇게 생성된 선분을 다시 수직 방향으로 아까와 동일한 길이만큼 늘리면 2차원 도형인 정사각형이, 정사각형을 다시 일정한 길이만큼 수직으로 늘리면 3차원 도형인 정육면체가 만들어진다. 따라서 4차원 도형도 3차원인 정육면체를 수직으로 늘리면 얻을 수 있다. 이렇게 얻는 4차원 입체도형을 초입방체라고 부른다.<ref name='4차원 입체도형'> 〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3568440&cid=58944&categoryId=58970 4차원 입체도형]〉, 《네이버 지식백과》</ref>
  
* '''정다포체''' : 다포체란 n차원 유클리드 초공간에서  다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리키며, 정다포체는 구성하고 있는 다포체가 서로 합동인 (n-1)차원의 포로 이루어져 있는 것을 말한다. 이러한 도형들을 2차원에서는  정다각형, 3차원에서는 정다면체, 4차원 이상에서는 정다포체라고 부른다.<ref name = '4D나무'/> 4차원에서의 정다포체는 오직 6개만이 존재할 수 있으며, 그 종류는 정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체이다.<ref> 〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4%EC%B0%A8%EC%9B%90_%EC%A0%95%EB%8B%A4%ED%8F%AC%EC%B2%B4 4차원 정다포체]〉, 《위키백과》</ref>
* '''초기둥''' : 4차원 초각기둥, 구 초기둥, 원뿔 초기둥, 원기둥 초기둥 등이 있다.
# 4차원 초각기둥(Hyperprism) : 두 개의 4차원 방향으로 평행한 3차원 다면체 사이에 선을 그어 형성되는 도형이다. 4차원 초각기둥은 총 두 개의 다면체와 그 다면체를 이루는 면의 개수만큼의 각기둥으로 구성된다.
# 구 초기둥(Spherinder) : 밑포가 구로 이뤄진 초기둥이다. 초각기둥과 같이 평행한 두 개의 구 사이에 4차원 공간을 채우는 4차원 도형으로 이루어진다.
# 원뿔 초기둥(Coninder) : 밑포가 원뿔로 이뤄진 초기둥이다. 다른 초기둥들과 같이 이루어져 있고, 밑포의 종류에 따라 이름이 다르게 붙여진다. 
# 원기둥 초기둥(Cubinder) : 밑포가 원기둥으로 이뤄진 초기둥이다. 다른 초기둥들과 같이 이루어져 있고, 밑포의 종류에 따라 이름이 다르게 붙여진다. 
*'''초뿔''' : 4차원 초각뿔, 구 초뿔, 다이콘, 원기둥 초뿔, 정육면체 뿔 등이 있다.
# 4차원 초각뿔: 하나의 다면체를 4차원 공간상의 꼭짓점과 이어서 만든 도형이다.
# 구 초뿔(Sperone) : 밑포가 구로 이뤄진 초뿔이다.
# 다이콘(Dicone): 원뿔의 모든 지점을 4차원 공간상의 한 꼭짓점과 이어서 만든 도형이다. 두 개의 원뿔이 붙은 것과 비슷한 모양이라고 하여 다이콘이라고 부르기도 한다.
# 원기둥 초뿔(Cylindrone) : 밑포가 원기둥으로 이뤄진 초뿔이다.
# 정육면체 뿔(Cubic Pyramid) : 밑포가 정육면체로 이뤄진 초뿔이다. 정팔포체의 각 포에 정육면체 뿔을 붙이면 정이십사포체를 만들 수 있다.<ref name = '4D나무'/>
* '''토러스''' : 구를 4차원 축에서 회전한 모양과 같다. 회전한 구가 시작한 구와 접하면 체 하나가 사라진다.<ref> Lee Sunggil, 〈[https://blog.naver.com/rladbrma7/220775432768 수학story (7) 4차원 토러스(torus)]〉, 《네이버 블로그》, 2016-07-30 </ref> 토러스초기둥, 구토러스, 토러스구, 다이토러스, 타이, 크로스캡 등이 있다.
# 토러스 초기둥(Torinder) : 밑포가 토러스로 이뤄진 초기둥이다.
# 구 토러스(Spheritorus): 구를 특정 축으로 회전시켜 얻을 수 있는 도형이다. 토러스 구와 위상수학적으로 한 쌍을 이루는 쌍대 관계이다.
# 토러스 구(Torisphere) : 구 초기둥을의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결해 얻는 도형이다. 토러스와 위상수학적으로 한 쌍을 이루는 쌍대 관계이다.
# 다이토러스(Ditorus) : 토러스 초기둥의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결하면 얻을 수 있는 도형이다.
# 타이거(Tiger) : 토러스의 각 단면이 되는 원을 다시 다른 방향으로 토러스의 형태로 회전 시켜 얻어지는 도형으로, 일반인들이 이해하기 가장 난해한 형태의 도형이다.
# 크로스캡 : 토러스 한쪽 부분의 안팎을 뒤집은 모양의 도형이다. 클라인의 병과 같아 보이지만 다른 도형이다.
* '''듀오프리즘'''(Duoprism) : 한 가지 또는 두 가지의 각기둥을 4차원 방향으로 서로 둘러싸도록 접어 얻을 수 있는 4차원 도형이다. 두 각기둥의 밑면 개수와 꼭짓점 개수에 따라 (p-q 듀오프리즘)으로 표기한다. p,q의 순서는 무관하다. 예를 들면 삼각기둥 5개와 오각기둥 3개를 서로 둘러싸게 접어 만든 듀오프리즘은 3-5 듀오프리즘 또는 5-3 듀오프리즘이다. 이 중에서도 4-4 듀오프리즘은 '테서랙트'라고 부른다.
* '''프리즈믹 실린더'''(Prismic Cylinder) : 원기둥 하나와 각기둥 하나를 4차원 방향으로 서로 둘러싸이도록 접어 만들 수 있는 도형이다. 듀오프리즘과 듀오실린더의 중간 형태로 이다.
* '''듀오실린더''' : 듀오프리즘의 원기둥 버전이다. 두 개의 원기둥을 서로 둘러싸도록 토러스형으로 접어 만들 수 있는 4차원 도형이다. 총 두 개의 토러스형 초입체로 구성되어 있고 면은 한 개이며, 모서리와 꼭짓점은 존재하지 않는다.
* '''초구''' : n차원 곡면으로, (n+1)차원 공간의 특정한 지점에서 같은 거리에 존재하는 점들의 집합이다. 어느 방향으로 잘라도 항상 단면이 구로 나온다.
* '''알렉산더의 뿔 달린 구''' : 초구와 위상동형인 도형이다. 구 일부를 뿔처럼 늘린 뒤 꼬아놓은 모양과 같다.
* '''클라인의 병''': 3차원 곡면으로, 뫼비우스의 띠의 4차원 버전이다. 안과 밖이라고 부르는 부분이 따로 존재하지 않는다.
* '''사영평면''' : 원의 마주 보는 점을 빈틈없이 접어 얻을 수 있는 도형이다.
* '''쌍각뿔''' : 초기둥과 한 쌍을 이루는 쌍대다포체이다.
* '''엇각기둥''' : 윗입체와 아랫입체가 한 쌍을 이루는 쌍대다포체 관계이다. 옆입체에는 n각뿔 모양과 삼각뿔 모양, 총 2가지 종류가 있다. 윗입체 혹은 아랫입체와 면을 맞닿는 입체는 n각뿔 모양을 하고, 윗입체, 아랫입체와 동시에 모서리만 접하는 입체는 삼각뿔 모양으로 이뤄진다.
* '''엇쌍각뿔''' : 엇각기둥과 한 쌍을 이루는 쌍대다포체이다.
* '''균일 4차원 다포체''' : 아르키메데스 다면체의 4차원 버전이다.

=== 재현 ===
[[파일:초입방체.jpg|300픽셀|오른쪽|썸네일|초입방체 전개도]]

3차원을 2차원에 완벽히 표현할 수 없으나 3차원의 그림자를 2차원에 투영할 수 있는 것과 같이, 시각적으로 재현한 4차원 도형들은 사실 3차원에 투영된 실제 4차원 도형의 그림자를 구현한 것이다. 3차원 공간에 살고 있는 우리는 4차원 도형을 상상하기 힘들며 표현하기는 불가능하기 때문이다. 우리가 알고 있는 4차원 도형들은 실제 모습이 아닌, 모두 3차원 공간에 사는 인간의 상상으로 만들어낸 가상의 도형들이다.<ref name = '4D나무'/> 3차원의 정육면체의 각 면은 정사각형으로 이루어져 있으나 2차원의 평면에 그려내면서 실제 모습과는 다르게 앞면과 뒷면을 제외하고는 평행사변형으로 표현되는 등 왜곡이 일어난다. 2차원 평면에 3차원을 그리려면 한 차원만 확장하면 되기 때문에 약간의 왜곡만이 일어나지만 4차원을 2차원에 그려내는 일은 두 개의 차원을 확장하는 것이기 때문에 더욱 심한 왜곡과 한계가 생긴다.<ref name='4차원 입체도형'/>  이러한 상상의 도형을 만들거나 연구하는 데는 스케치업이나 쓰리디에스 맥스(3DS max) 같은 3차원 프로그램이 어느 정도 도움을 준다. 3차원을 2차원 종이에 그림으로 그려 표현하듯 4차원을 3차원 프로그램에 그려 나타내는 것이다. 하지만 프로그램을 이용해도 사실 4차원을 3차원 프로그램을 나타내는 것을 2차원인 평면 모니터를 통해 보는 것이기 때문에 그리거나 이해하는데 공간지각 능력이 3차원을 넘어 4차원까지 다룰 수 있는 초월적 지각 능력을 갖춰야 한다. x, y, z 세 가지 축에 하나의 축 a를 추가로 가진 포디 그래퍼(4D Grapher)과 같은 4차원 프로그램이 존재하긴 하지만 사실 4차원의 그림을 그린다기보다는 4차원 그래프를 분석하기 위한 용도에 더 적합하다.<ref name = '4D나무'/> 4차원의 도형을 보다 정확하게 재현하는 방법은 바로 전개도를 이용하는 것이다. 정육면체를 전개해서 2차원 면으로 구성된 전개도를 만들고 다시 1차원인 선끼리 붙여 정육면체를 만드는 방법과 같이 4차원 초입방체에서 접힌 부분을 펴내면 모든 각이 직각을 이룬 8개의 정육면체가 맞붙은 십자가 모양의 전개도가 나온다. 이 전개도를 다시 2차원면끼리 맞붙이면 4차원 초입방체가 된다.<ref name='4차원 입체도형'/>

=== 테서랙트 ===
[[테서랙트]](tesseract)는 영국 출신의 수학자 찰스 하워드 힌턴(Charles Howard Hinton)이 1888년 4차원 물체의 시각화를 돕기 위해 고안한 개념으로, 듀오 프리즘의 한 종류이며 4차원 초입방체 또는 정팔포체라고도 한다. 3차원 도형인 정육각형의 전개도를 만들면 2차원의 정사각형으로 구성되어 있는 것처럼, 4차원인 테서랙트를 전개도로 만들면 3차원인 정육각형으로 구성되었다. 인간의 감각기관은 4차원 이상을 인지할 수 없기 때문에 테서랙트를 3차원 공간에 투영된 형태로 인지한다.<ref name='테서랙트'> 〈[https://namu.wiki/w/%ED%85%8C%EC%84%9C%EB%9E%99%ED%8A%B8 테서랙트]〉, 《나무위키》</ref> 따라서 관련 테서랙트의 모습을 보면 실제 모양을 보면 상상하기 힘들지만, 4차원 공간상에서의 테서랙트는 모든 정육면체가 서로 수직이고 각 정육면체의 평면도 직각을 이룬다. 오른쪽의 테서랙트는 4차원 공간 축을 따라 회전하는 테서랙트이다. 3차원 물체 2개가 연결된 채 원운동과 자유 변형까지 동시에 하기 때문에 알아보기 힘들지만, 사실 테서랙트의 회전 중에서는 비교적 단순한 형태의 움직임을 구현한 것이다.<ref name='4차원 입체도형'/> 한편 테서랙트를 여러 개 활용하면 더 고차원의 도형을 만들 수 있다. 테서랙트10개를 한 모서리당 3개씩 만나도록 연결하면 5차원 도형인 펜터랙트(Penteract)가 만들어진다.<ref name='테서랙트'/> 테서랙트가 미지의 영역에 대한 신비로움을 담은 4차원의 상징이 되면서, 테서랙트라는 개념이 발표된 후 과학뿐만 아니라 여러 인문철학, 예술 등에도 많은 영향을 미쳤다. 1963년 뉴베리상 수상작 SF 소설 시간의 주름에서는 후반부의 중요 아이템으로 나오고, 영화인터스텔라와 마블 시네마틱 유니버스의 아이템으로도 쓰였다.<ref name='테서랙트블로그'> 이과, 〈[https://blog.naver.com/ian3714/220293166087 차원은 무엇인가? - 4차원 입체도형 테세락 (Tesseract)]〉, 《네이버 블로그》, 2015-03-07 </ref>

==활용==
=== 4D 프린팅===
[[파일:자가 변형 물질.jpg|300픽셀|오른쪽|썸네일|자가 변형 물질]]

4D 프린팅이라는 용어는 지난 2013년 미국 [[매사추세츠 공과대학교]](MIT)의 스카일러 티비츠(Skylar Tibbits) 박사가 처음 사용한 것으로, 3D로 프린팅한 물체가 스스로 자가조립 과정을 거쳐 변형하여 사용자가 바라는 결과물이 되는 기술을 말한다. 3차원에 기반을 둔 [[3D 프린팅]]에 변화할 수 있다는 한 차원의 특성을 더한 것이다. 4D 프린팅을 이용해 원하는 결과물을 출력하려면 외부환경 요인에 따라 모양이 변하거나 스스로 조립되는 스마트 소재인 자가변형물질(self-transformable materials)가 필요하다. 스마트 소재를 3D 프린터로 출력하면 사람의 힘을 빌리지 않고도 온도나 수분, 바람, 빛, 물, 중력, 공기, 시간 등의 외부 요인의 영향을 받아 지정된 조건에 맞게 형태가 달라지게 할 수 있다. 스마트 소재에는 형상기억합금이나 형상기업폴리머섬유 같은 첨단 소재와 더불어 나무나 종이 같은 소재도 부분적 변형이 가능해 포함될 수 있다. 실제로 매사추세츠 공과대학교는 물과 만나면 팽창하는 물성을 가진 나무 소재를 이용하여 코끼리 밑그림을 출력한 뒤  물에 담가 코끼리 모형을 만들거나 같은 물성을 가진 종이로 만든 밑그림이 스스로 변형하여 축구공으로 만들어지는 4D 프린팅 연구 결과를 발표했다. 4D 프린팅 기술은 장난감, [[게임]], [[자동차]], [[로봇]], 의료, 제조, 건설 등 다양한 산업 분야에서 활용 가능하다. 따라서 각국의 유명 대학이나 연구소, 기업 등은 4D 프린팅 기술의 핵심인 스마트 소재 개발에 열을 올리고 있다. 2020년 기준 4D 프린팅 시장의 중심은 미국이며, 2025년에는 4D 프린팅 시장규모가 약 6,000억 원으로 확대될 것으로 전망하고 있다. 다음은 4D 프린팅 기술의 활용 분야 및 사례이다.
*'''자동차''' : 독일 자동차 회사 [[비엠더블유]](BMW)는 4D 프린팅 스포츠카인‘비전 넥스트 100’을 공개했다. 실물은 아니지만, 이미지 콘셉트카만 보더라도 4D 프린팅 기술의 혁신성을 짐작할 수 있게 했는데, 험한 도로를 달리거나 급회전을 할 때 바퀴의 외형태가 달라지도록 했다. 그뿐만 아니라 잠시 잠을 청하려고 하면 좌석 공기압이 변하며 운전석이 침대로 변하는 등 운전 상황에 맞게 좌석이 자유자재로 팽창했다가 수축한다.
*'''우주''' : 미국 항공우주국(NASA)은 우주선 보호막이나 우주 비행사들의 우주복 제작에 4D 프린팅 기술을 접목하고 있다.
*'''의료''' : 미국 미시간대 의대는 4D 프린팅으로 제작한 부목을 생후 5개월 아기의 목에 이식했으며, 미국 버지니아 공대는 스스로 구부러지는 인공 손가락 관절을 만들었다. 또한 한국과학기술연구원(KIST) 계산과학연구센터는 맞춤형 깁스를 개발했다.
*'''생활''' : 아디다스는 4D 프린팅 기술을 적용한 미래형 운동화 알파엣지4D를 출시했다. 조깅할 때는 발바닥에 가해지는 압력으로 신발이 알아서 수축하고, 멈추면 신발이 다시 늘어나 착용자의 발을 편안하게 해준다. [[한국과학기술연구원]](KIST)에서는 일정 시간 이상 열과 연기가 감지되면 흡착소재가 팽창해 연기를 빨아들이는 4D 화재 시스템을 개발 중이다. 미국의 디자인 기업인 너브스는 시스템은 4D 프린팅으로 옷과 장신구를 제작하기도 했다.<ref> 〈[https://blog.lginnotek.com/770 4D프린팅의 시대에 대해 알아보아요!]〉, 《LG이노택 블로그》, 2019-06-05 </ref>

=== 4D 프레임 ===
[[파일:4D프레임.jpg|300픽셀|오른쪽|썸네일|4D 메카트로닉스(4D Mechatronics)]]

4D 프레임의 사전적 의미는 4차원과 구조‧뼈대‧틀이란 의미인 프레임(frame)의 합성어이며, 실제로는 별다른 의미를 지니지 못하는 한 개체인 0차원의 점이 또 다른 개체와 만남으로써 1차원인 선, 2차원인 면, 그리고 3차원인 면을 통해 표현하고자 하는 생각과 내면 의식까지 나타낸다는 4차원 시공간의 의미를 담은 창조적 작품을 만들어내는 창의 교구를 지칭한다.<ref name='4D프레임사이트'>〈[http://m.4dframe.com/page/page35 4D프레임]〉, 《4D프레임》</ref>  모든 도형을 이루는 가장 기본 단위를 결합, 연결하여 골격을 이뤄 점차적으로 다양한 다면체와 창조적 작품을 만들 수 있다. 4D 프레임은 연결봉과 연결대로 이루어진 크고 작은 빨대 모양의 도구로 이뤄져 있는데, 이를 통해 기계‧전기‧전자‧정보통신‧소프트웨어 등을 상상 속의 4차원 모형물로 만들어낸다.<ref name ='사이언스 타임즈'> 이강봉 객원기자, 〈[https://www.sciencetimes.co.kr/news/4d%ED%94%84%EB%A0%88%EC%9E%84-%EC%9D%B8%EC%9E%AC-%ED%95%9C%EA%B5%AD%EC%97%90-%EB%8B%A4-%EB%AA%A8%EC%98%80%EB%8B%A4/ 4D 프레임 인재, 한국에 다 모였다]〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21 </ref> 각도를 0°~360°까지 자유롭게 조정할 수 있으며, 가위만 있으면 연결봉과 연결대를 원하는 길이와 모양으로 자르고 이어서 무엇이든 만들어낼 수 있다. 4차원 도형 중 하나인 클라인의 병도 3차원에서 존재할 수 없는 도형이지만, 4D 프레임을 이용해 옆면에 구멍을 뚫어 그 모습을 재현해 볼 수 있다.<ref name='4D프레임사이트'/> 한국과학창의재단이 2018 우수과학문화상품으로 선정한 ㈜포디랜드·포디수리과학창의연구소의 4D 메커트로닉스(4D Mechatronics)를 이용하면 [[소프트웨어]] [[코딩]]을 연계한 다양한 융합 프로젝트를 진행할 수도 있다.<ref>  김청한 객원기자, 〈[https://www.sciencetimes.co.kr/news/%EC%9C%B5%ED%95%A9%EC%9D%B8%EC%9E%AC-%EC%96%91%EC%84%B1%EC%9D%98-%EB%B9%84%EA%B2%B0-4d-%ED%94%84%EB%A0%88%EC%9E%84/ 융합인재 양성의 비결 ‘4D 프레임’]〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21</ref> 4D 프레임의 교육적 효과는 기본적인 도형의 원리와 입체표현 등 기하학적 성질을 이해하고, 수학적인 추론능력과 공간지각능력 향상에 도움을 준다는 것인데,<ref name='4D프레임사이트'/> 실제로 4D 프레임을 통해 학습하면 공간 감각과 수학적 창의성 향상에 긍정적인 영향을 미친다는 연구 결과도 있다.<ref> 이주용, 최재호, 〈[https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO201317664651665&dbt=NART 4D 프레임 활용 학습이 초등 수학영재학생의 공간감각 및 수학적 창의성에 미치는 영향]〉, 《사이언스온》</ref>
이러한 특징을 가진 4D프레임은 교육 현장에서 핫한 아이템이다. 4D 프레임은 한국에서 개발되어 단순하면서도 독특한 유연성과 특이성이 인정되어 한국은 물론 중국, 스웨덴, 인도네시아 등 세계 16개국의 유치원생부터 초‧중‧고생에까지 사용되고있다. 중국, 스웨덴과 같은 일부 국가에서는 4D프레임을 교과과정으로 채택했으며, 지역 곳곳에 상설 전시관을 설치하는 등 보급이 확산되고 있다. 2019년에는 국립과천과학관에서 제13회 국제수리과학 창의대회가 열려 한국을 비롯한 중국, 스웨덴, 홍콩, 대만, 인도네시아, 필리핀, 몽골, 오만 등 9개국에서 1000여 명의 학생들이 모여 4D 프레임을 이용해 과학과 예술을 결합한 상상 속의 구조물을 만드는 국제 행사를 진행하기도 했다.<ref name ='사이언스 타임즈'/> 

=== 영화 ===
영화의 역동적인 장면마다 상영관과 좌석에 설치한 장비를 통해 좌석이 흔들리거나 바람, 눈, 비, 향기 등의 특수효과를 부여하는 영화 상영 방식을 의미한다. 상영관에 따라 3D 안경이 제공되기도 한다. 초기에는 놀이공원에서만 볼 수 있었다. 4DX라는 이름의 유래는 4차원이지만 물리학이나 수학에서 말하는 4차원 거리가 멀다. 영화를 입체적으로 보는 기술을 3D라고 하는데, 영화 속 상황을 관객에게 물리적인 효과로 구현하는 것을 더 높은 차원으로 불러야 하지 않나라는 발상으로 3D에 숫자를 하나 높인 4D라고 칭하게 되었다.<ref name = '4D나무'/> 4D 기술의 최대 강점은 콘텐츠 내용과 유사한 자극을 여러 기술로 뒷받침하여 몰입감과 현장감을 극대화한다는 데 있다. 영화에서 4D 기술은 콘텐츠의 가치를 높여 더 많은 입장료 수익을 거둘 수 있게 한다. 곧 4D 입장료는 일반 영화에 비해 2배나 높을 정도로 프리미엄의 가치를 인정받고 있다. 게다가 4D 상영관은 일반 상영관보다 객석 점유율도 높은 편이다. 대한민국의 대표적인 4D 영화관인 CGV가 운영하고 있는 4D 플렉스(4D Plex)의 사례를 보면, 높은 입장료에도 불구하고 인기 시간대의 객석이 대부분 매진되는 것으로 나타났다. 4D 기술의 가장 큰 약점은 오랜 시간 지속적으로 즐기기에는 한계가 있다는 사실이다. 지금까지 4D 기술이 이용된 사례는 주로 10분 내외의 짧은 영상 콘텐츠였다. 이는 4D 기술 자체가 관람객들에게 놀라움을 선사하는 자극적인 성격을 띠고 있기 때문이다. 다시 말해 좌석이 진동하고 바람이 불며, 속도감을 느끼게 하는 강한 4D 효과를 오랜 시간 관객에게 제공했을 때는 각종 부작용이 나타날 수 있다. 많은 관객이 4D 효과에 긍정적인 반응을 보이지만, 모든 관객이 호의적인 반응을 보이는 것은 아니다. 일부 관객은 4D 효과에 거부감과 불쾌감을 드러내기도 하고, 일부는 환불을 요구하는 사례까지 보고되고 있다. 일반 영화 대비 높은 입장료나 관람료는 운영 업체에게 수익성을 확보하게 하는 긍정적인 측면도 있으나, 관객들에게는 부담으로 느낄 수 있다. 놀이공원처럼 입장료나 자유 이용권에 4D 관람료가 포함되어 있으면 입장료에 큰 부담이 없다. 하지만 4D 영화관에서 개별적으로 입장료를 징수할 때는 관객들의 부담이 늘어날 수밖에 없다. 비용에 대한 장벽을 낮추는 일 역시 간과할 수 없는 부분이다.

4DX는 씨제이그룹의 시뮬레이션 장비 제조 회사인 씨제이포디플렉스㈜(CJ 4D Plex)가 2009년에 세계 최초로 상용화한 영화 상영시스템의 브랜드 명칭이다. 4D 영화를 경험할 수 있는 체험형임을 강조하기 위해 4DX라는 명칭을 붙이게 되었다.  국내외 등록된 관련 출원 중인 특허 수가 101건인 기술 집약적인 영화관 솔루션이며, 2019년 9월을 기준으로 65개국에 678개의 상영관이 운영되고 있어<ref name='4DX'> 〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4DX#%EA%B5%AD%EB%82%B4_4DX%EA%B4%80_%EB%A6%AC%EC%8A%A4%ED%8A%B8 4DX]〉, 《위키백과》</ref> 국외 수출이 활발하게 이루어진다. 미국에 사무실을 두고 할리우드 영화사와 함께 작업하기도 한다.<ref name = '4D나무'/> 2009년 10편의 4DX 영화 개봉을 시작으로 2016년에는 총 105편의 4DX 영화가 상영되었다. 7년 사이에 연간 4DX 상영 편수가 8배가량 증가한 것이다. 씨제이그룹은 할리우드 메이저 스튜디오와의 협업을 통해 매년 액션, 애니메이션, 판타지 등 다양한 장르의 영화를 4DX로 개봉하고 있다. 2018년에는 연간 누적 2,400만 명의 관객을 동원했으며, 박스오피스 2억 9,000만 달러를 기록해 역대 최다 관객 수와 최고 박스오피스 기록을 경신한 바 있다. 2019년 7월에는 '알라딘'과‘라이온 킹'의 흥행으로 역대 글로벌 월별 최다 관객 수인 307만 명을 기록했다. 그 중 알라딘은 국내에서 개봉한 4DX작품으로는 최초로 관객 수 100만 명을 기록했고, 라이온 킹은 영화의 오에스티(OST)의 4DX 체험으로 실제 뮤지컬을 관람하는 것 같은 경험을 제공해 화제가 된 바 있다.<ref name='4DX'/>

=== 그림 ===
[[파일:아비뇽의 처녀들.jpg|오른쪽|280픽셀|썸네일|아비뇽의 처녀들]]
[[파일:기차 속의 슬픈 젊은 남자.jpg|오른쪽|280픽셀|썸네일|기차 속의 슬픈 젊은 남자]]

널리 알려진 화가 중 많은 이들이 수학을 활용해 자신의 예술세계를 보여준다. 20세기 초의 입체파, 미래파, 초현실주의의 예술가들은 3차원의 현실적인 표현을 넘어 4차원의 시각적 해석으로 이동하며 2차원 작품에서 4차원을 전달하려고 시도했다. 이를 통해 예술가들은 어떠한 대상을 현실 세계에서는 일반적으로 동시에 볼 수 없었던 다른 관점으로 작품에 표현해냈다. 주로 4차원 도형을 3차원에 사영하는 방식을 이용했다.<ref name='greenlane'> 〈[https://www.greelane.com/ko/%ec%9d%b8%eb%ac%b8%ed%95%99/%ec%8b%9c%ea%b0%81-%ec%98%88%ec%88%a0/art-history-definition-the-fourth-dimension-183205/ 예술가들이 4 차원을 묘사 한 방법]〉, 《개인블로그》, 2018-01-15</ref> 그중 4차원을 대표적인 사람으로는 피카소, 마르셀 뒤샹, 살바도르 달리, 맥스 웨버가 있다.
* '''파블로 피카소'''(Pablo Picasso) : 스페인의 예술가이다. 그는 우주와 자연에 대해 배우고 토론하던 가운데 수학, 물리학, 철학, 심리학에 큰 업적을 남긴 푸앵카레(Poincaré)의 '과학과 가정'이라는 책을 접하고 세상을 새로운 시각에 대한 깨달음을 얻었다.<ref> 박주용 KAIST 문화기술대학원 교수, 〈[http://news.heraldcorp.com/view.php?ud=20200521000534 (IT과학칼럼) 아인슈타인·피카소의4차원적 상상력]〉, 《헤럴드경제》, 2020-05-21 </ref> 이 책은 푸앵카레의 4차원 기하학의 일부를 쉽게 풀어내고 4차원의 다면체들이 소개되어 있다. 피카소가 이 책을 참고하여 자신의 작품세계를 구축했다는 것은 그의 대표작인 '아비뇽의 처녀들(Les Demoiselles d'Avignon)'을 그리기 위한 스케치에서 찾아볼 수 있다. 스케치뿐만 아니라 작품 결과에서도 4차원 도영의 사영에서 아이디어를 얻었음을 추측할 수 있는 여러 표식들을 볼 수 있다.<ref name='소고'> 소고, 〈[https://brunch.co.kr/@snobberys/103 차원에 대하여]〉, 《브런치》, 2016-07-05</ref>
* '''마르셀 뒤샹'''(Marcel Duchamp) : 프랑스의 예술가로, 다다이즘과 초현실주의와 관련된 작품을 많이 남겼다. 뒤샹은 에드윈 에보트(Edwin Abbott)의 소설인 '플랫 랜드: 다타원의 로맨스'에서 언급된 "4차원의 그림자는 곧 3차원의 물체들"이라는 구절에서 모티브를 얻어 4차원을 표현한 작품들을 만들어냈다. 그의 작품 '기차 속의 슬픈 젊은 남자(Sad Young Man in a Train)'에서는 서로 일치하는 기차와 슬픈 젊은 남자의 복도에서의 움직임은 서로 평행을 이루고 있는 선의 요소를 사용하여 왜곡시켰다. 이러한 과정을 그의 또 다른 작품인 '계단을 내려오는 누드(Nude Descending a Staircase)'에서도 이 방법을 사용했다.<ref> Patrick, 〈[https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?isHttpsRedirect=true&blogId=chanwoolee&logNo=221427852247&categoryNo=116&proxyReferer=  마르셀 뒤샹 초기 작품]〉, 《네이버 블로그》, 2018-12-26 </ref> 이 작품은 누드에 잉크를 채워 계단 아래로 연속적으로 끌어내리기라도 한 것처럼 연속 동작과 같은 느낌을 줘 전체 움직임을 한눈에 볼 수 있다.<ref name='4차원 입체도형'/>
* '''맥스 웨버'''(Max Weber) : 미국 출신의 초기 입체파 화가이다. 그는 조형예술에는 모든 방향에서 한 번에 압도적인 공간 규모의 인식으로 묘사될 수 있는 4차원이 존재한다고 말했다.<ref> 〈[https://www.hisour.com/ko/fourth-dimension-art-17945/ 예술의 4차원]〉, 《개인 블로그》</ref> 그의 작품 '4차원의 내부(Interior of the Fourth Dimension)'에는 우리가 알 수 없는 4차원의 이상한 세계가 표현되어 있다.<ref name='4차원 입체도형'/>
* '''살바도르 달리'''(Salvador Dalí) : 스페인의 초현실주의 화가이다. 그의 작품인 '십자가에 못 박힌 예수, 초입방체(Corpus Hypercubus)'에는 그의 4차원의 예술적 해석이 잘 드러난다. 이 작품에서 4차원은 십자가의 사영으로서 나타나는데, 여기에 테서랙트의 전개도가 사용되었다.<ref name='소고'/> 예수가 처형되는 곳을 3차원의 십자가가 아닌 테서랙트로 표현함으로써 우리가 사는 세계를 초월하는 존재를 나타내 심오한 철학 작품과 같은 감동을 준다.<ref name='테서랙트블로그'/> 

=== 만화 ===
* '''극한의 별''' : 일본의 야마다 요시히로가 그린 공상과학 만화이다. 편찬 당시인 2001년을 기준으로 먼 미래인 2019년에 인류가 최초로 화성에 착륙 성공하는 것을 소재로 한다. 화성에 첫발을 내디딘 등장인물은 갑자기 나타난 정체불명의 물체에 의에 착륙선이 박살 나고 동료들을 잃게 되는데, 여기서 등장하는 정체불명의 물체가 바로 4차원 테서랙트이다. 만화에서는 테서랙트의 그림자도 등장하는데, 4차원 존재이기 때문에 그림자도 3차원 입체로 표현되어 있다. 3차원에 사는 인간보다 고차원의 존재인 테서랙트를 인간의 눈으로는 길이와 부피, 넓이가 합쳐진 입체 모형만 볼 수 있다는 점을 이용하여 이야기가 전개된다. 고차원 존재인 테서랙트는 만화에서  3차원에 존재한 길이 넓이 부피의 상식을 뛰어넘어 크기와 위치, 모양을 자유자재로 바꿔가며 주인공을 농락한다. 3차원에 사는 인간이 2차원인 평면도면이 담긴 있는 종이를 쉽게 뒤집을 수 있다는 점을 반영한 것이다. 주인공은 이러한 행위에 증오심을 품어 최후의 발악을 하지만 결국 실패하고 만다.<ref name='테서랙트예술'> Heathcliff, 〈[https://blog.daum.net/heathcliff6800/14 Tesseract]〉, 《네이버 블로그》, 2011-04-02</ref> 

{{각주}}

==참고자료==
*〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B5%EA%B0%84 공간]〉, 《위키백과》
*〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%EA%B3%B5%EA%B0%84 유클리드 공간]〉, 《위키백과》
*〈[https://namu.wiki/w/4%EC%B0%A8%EC%9B%90 4차원]〉, 《나무위키》
*〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4%EC%B0%A8%EC%9B%90 4차원]〉, 《위키백과》
* 〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3566872&cid=58944&categoryId=58970 4차원 세계의 모습]〉, 《네이버 지식백과》
*〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4%EC%B0%A8%EC%9B%90_%EC%A0%95%EB%8B%A4%ED%8F%AC%EC%B2%B4 4차원 정다포체]〉, 《위키백과》
*Lee Sunggil, 〈[https://blog.naver.com/rladbrma7/220775432768 수학story (7) 4차원 토러스(torus)]〉, 《네이버 블로그》, 2016-07-30
*〈[https://namu.wiki/w/%ED%85%8C%EC%84%9C%EB%9E%99%ED%8A%B8 테서랙트]〉, 《나무위키》
*이강봉 객원기자, 〈[https://www.sciencetimes.co.kr/news/4d%ED%94%84%EB%A0%88%EC%9E%84-%EC%9D%B8%EC%9E%AC-%ED%95%9C%EA%B5%AD%EC%97%90-%EB%8B%A4-%EB%AA%A8%EC%98%80%EB%8B%A4/ 4D 프레임 인재, 한국에 다 모였다]〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
*〈[http://m.4dframe.com/page/page35 4D프레임]〉, 《4D프레임》
*김청한 객원기자, 〈[https://www.sciencetimes.co.kr/news/%EC%9C%B5%ED%95%A9%EC%9D%B8%EC%9E%AC-%EC%96%91%EC%84%B1%EC%9D%98-%EB%B9%84%EA%B2%B0-4d-%ED%94%84%EB%A0%88%EC%9E%84/ 융합인재 양성의 비결 ‘4D 프레임’]〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
*이주용, 최재호, 〈[https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO201317664651665&dbt=NART 4D 프레임 활용 학습이 초등 수학영재학생의 공간감각 및 수학적 창의성에 미치는 영향]〉, 《사이언스온》
*〈[https://www.greelane.com/ko/%ec%9d%b8%eb%ac%b8%ed%95%99/%ec%8b%9c%ea%b0%81-%ec%98%88%ec%88%a0/art-history-definition-the-fourth-dimension-183205/ 예술가들이 4 차원을 묘사 한 방법]〉, 《개인블로그》, 2018-01-15
*박주용 KAIST 문화기술대학원 교수, 〈[http://news.heraldcorp.com/view.php?ud=20200521000534 (IT과학칼럼) 아인슈타인·피카소의4차원적 상상력]〉, 《헤럴드경제》, 2020-05-21
*소고, 〈[https://brunch.co.kr/@snobberys/103 차원에 대하여]〉, 《브런치》, 2016-07-05
*Heathcliff, 〈[https://blog.daum.net/heathcliff6800/14 Tesseract]〉, 《네이버 블로그》, 2011-04-02
*〈[https://www.hisour.com/ko/fourth-dimension-art-17945/ 예술의 4차원]〉, 《개인 블로그》
*이과, 〈[https://blog.naver.com/ian3714/220293166087 차원은 무엇인가? - 4차원 입체도형 테세락 (Tesseract)]〉, 《네이버 블로그》, 2015-03-07
*Patrick, 〈[https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?isHttpsRedirect=true&blogId=chanwoolee&logNo=221427852247&categoryNo=116&proxyReferer=  마르셀 뒤샹 초기 작품]〉, 《네이버 블로그》, 2018-12-26
*〈[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3568440&cid=58944&categoryId=58970 4차원 입체도형]〉, 《네이버 지식백과》
*최무영 서울대 교수, 〈[https://www.pressian.com/pages/articles/55457#0DKU 4차원 시공간]〉, 《프레시안》, 2008-04-04
*〈[https://ko.wikipedia.org/wiki/4DX#%EA%B5%AD%EB%82%B4_4DX%EA%B4%80_%EB%A6%AC%EC%8A%A4%ED%8A%B8 4DX]〉, 《위키백과》
*〈[https://blog.lginnotek.com/770 4D프린팅의 시대에 대해 알아보아요!]〉, 《LG이노택 블로그》, 2019-06-05

==같이 보기==
* [[공간]]
* [[시간]]
* [[시공간]]
* [[4D 영화관]]
* [[4D 영화]]
* [[3D]]
* [[3D 프린팅]]
* [[3D 안경]]
* [[테서랙트]]

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