지롤라모 카르다노

지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501년 9월 24일 ~ 1576년 9월 21일)는 16세기 르네상스 시기에 활동한 이탈리아의 의사 겸 수학자이다. 그는 발진 티프스를 처음 발견한 의사이고, 허수 개념을 도입한 수학자이며, 철학자, 역학자, 점성술사, 도박자이기도 했다. 한때 이탈리아 파비아 시의 시장을 지내기도 했다. 2017년 찰스 호스킨슨은 기존의 이더리움을 개선한 새로운 블록체인 플랫폼을 만들고 그 이름을 카르다노(Cardano)라고 붙였다. 카르다노 플랫폼 위에서 작동하는 암호화폐가 에이다(ADA)이다.

카르다노 공식

카르다노는 3차 방정식의 근의 공식을 구하던 도중에 음수 제곱근의 필요성을 느끼고 허수라는 개념을 처음 도입했다. 다만, 일반적인 3차 방정식의 해를 구하는 공식을 발표하면서, 폰타나가 발견한 공식을 마치 자기가 발견한 것처럼 '카르다노 공식'이라는 이름으로 발표했는데, 나중에 허위로 밝혀져 인격에 치명적 손상을 입기도 했다.

일반적으로 3차 방정식의 해를 구하는 공식(즉, '카르다노 공식')은 다음과 같다.

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ (단, $a$≠$0$)

위 식에서 $y=x+{b \over 3a}$라고 하고, 변수 변환을 실시하면, 2차 항이 사라진 다음 수식을 얻을 수 있다.

$y^{3}+py+q=0$

(단, 여기서 $p={c \over a}-{b^{2} \over 3a^{2}}$이고, $q={d \over a}-{bc \over 3a^{2}}+{2b^{3} \over 27a}$이다.)

이것을 $y$에 대해 풀면, 다음과 같이 3차 방정식의 근의 해를 얻을 수 있다.

$y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}$

이것을 $x$에 대해 다시 정리하면, 다음과 같이 3차 방정식의 근의 해를 구할 수 있다.

$x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}-{b \over 3a}$

참고자료

• 〈지롤라모 카르다노〉, 《위키백과》
• 〈삼차 방정식〉, 《위키백과》

같이 보기

• 카르다노
• 에이다
• 찰스 호스킨슨