대각행렬

대각행렬(Diagonal Matrix)은 정사각 행렬의 주대각선 성분 이외의 모든 성분이 0인 행렬이다.

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개념[편집]

대각행렬은 행렬에서 대각 원소(왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 이어지는 원소)만 0이 아닌 값을 갖고 나머지 원소는 모두 0인 특수한 행렬을 의미한다. 수학적으로 $n\times n$ 정사각 행렬 $D$ 가 대각행렬이 되려면, 모든 $i\neq j$ 에 대해 $D_{ij}=0$ 을 만족해야 한다. 즉, 다음과 같은 형태를 가진다.

D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\0&0&d_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}

이러한 특성 덕분에 대각행렬은 일반 행렬보다 계산이 단순하고 효율적이며, AI 및 머신러닝에서도 다양한 최적화 과정에서 활용된다.^[1]

주요 특징[편집]

행렬 연산의 간소화

대각행렬끼리의 곱셈은 개별 대각 원소끼리의 곱으로 단순화된다.

D_{1}D_{2}={\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}e_{11}&0&0\\0&e_{22}&0\\0&0&e_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{11}e_{11}&0&0\\0&d_{22}e_{22}&0\\0&0&d_{33}e_{33}\end{bmatrix}}

행렬식과 고유값이 쉽게 계산됨

대각행렬의 행렬식은 모든 대각 원소의 곱으로 주어진다.

$\det(D)=d_{1}d_{2}d_{3}\cdots d_{n}$

대각행렬의 고유값은 대각 원소 자체가 된다.

계산 비용이 낮음

일반 행렬에 비해 연산량이 크게 줄어들기 때문에 머신러닝 및 AI에서 최적화 과정에서 유용하게 사용된다.

활용[편집]

대각행렬은 인공지능과 머신러닝에서 다양한 용도로 사용된다. 특히 신경망 학습 과정에서의 변환, 정규화, 특이값 분해(SVD), 주성분 분석(PCA) 등에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, PCA에서는 공분산 행렬을 대각화하여 주요 성분을 찾는 과정에서 대각행렬이 사용된다. 이때, 공분산 행렬을 고유값 분해(Eigendecomposition)하면 고유값들이 대각행렬 형태로 표현되며, 데이터의 분산을 가장 잘 설명하는 주축을 찾는 데 도움을 준다.

또한, 신경망 학습에서 사용되는 가중치 행렬의 변형에서도 대각행렬이 활용될 수 있다. 가중치 행렬의 스케일링을 조정하거나 특정 축 방향으로 변환하는 경우, 대각행렬 곱을 통해 효율적으로 수행할 수 있다. 예를 들어, 신경망 학습 과정에서 가중치를 정규화하는 방법 중 하나로 사용하는 Batch Normalization에서는 대각행렬 형태의 스케일링 매개변수를 적용할 수 있다.

자연어 처리(NLP)에서도 대각행렬이 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 단어 임베딩 기법인 Word2Vec에서 단어-문맥 행렬을 특이값 분해(SVD)하여 임베딩 벡터를 생성하는 과정에서도 대각행렬이 나타난다.

각주[편집]

이동 ↑ 〈대칭행렬과 대각행렬〉, 《위키독스》

참고자료[편집]

〈대칭행렬과 대각행렬〉, 《위키독스》

같이 보기[편집]

희소행렬

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[1] 이동 ↑ 〈대칭행렬과 대각행렬〉, 《위키독스》

[1]

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