피보나치 수열

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다.

개요

피보나치 수열은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다. 이 수열의 항을 피보나치 수(Fibonacci Number)라고 부른다. 편의상 0을 0번째 항으로 놓기도 한다.

• 1항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.

$F_{1}=F_{2}=1$
$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\qquad (n\in \{3,4,\dots \})$

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 

• 0항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.

$F_{0}=0$
$F_{1}=1$
$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\qquad (n\in \{2,3,4,\dots \})$

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 

역사

최초의 피보나치 수열은 기원전 450년 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책에서 이와 같은 수열이 최초 언급되었다. 이후 이탈리아의 수학자인 레오나르도 피보나치가 1202년 저서인 '산반서'라는 책에서 '토끼의 번식 증가량'을 언급하며 연구하였다.

• 첫 달에 새로 태어난 토끼는 한 쌍만이 존재한다.
• 두 달 이상 된 토끼는 번식이 가능하다.
• 번식이 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다.
• 이 때 토끼는 죽지 않는다.

첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 첫 달에는 번식을 할 수 없어 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터는 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다. 이 때 n번째 달에 a 쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b쌍이 있었다고 하면 그다음 n+2 번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전 달인 n+1번째 달에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문이다.

실제 피보나치 수열은 예전부터 알려져 있었으나 피보나치 수의 생성 함수는 완전히 정리되기까지 오랜 시간이 걸렸다. 1765년 오일러가 최초로 이 생성함수를 정리하여 발표했었고 이후 1848년 비네가 이 생성함수를 재발견하여 발표했고 결국 피보나치 수의 생성함수는 비네의 식이라고 불렸다.

참고자료

• 〈피보나치 수열〉, 《나무위키》
• 〈피보나치 수〉, 《위키백과》

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