소수 (prime number)

소수는 자신보다 작은 두 개의 자연수를 곱하여 만들 수 없는 1보다 큰 자연수를 의미한다. 예를 들어, 자연수 2, 3, 5의 약수는 1과 자기 자신뿐이기 때문에 자연수 2, 3, 5는 소수라고 할 수 있다.

유클리드(Euclid)

페르마(Pierre de Feramt)

마린
메르센느(Marin Mersenne)

오일러(Leonhard Euler)

르장드르(Adrien-Marie Legendre)

개요

소수의 개수는 무한하며, 이 명제를 유클리드의 정리라고 한다. 가장 오래된 증명은 그리스 수학자 유클리드의 《유클리드 원론》(제 9권, 정리 20)에서 볼 수 있다. 유클리드의 증명은 “어느 주어진 유한한 소수들 보다 더 많다.”라는 결론으로 표현되었다. 소수와 합성수를 구분해낼 수 있는 명확한 공식은 지금까지도 밝혀지지 않은 상태이나, 대역적으로 자연수 중 소수의 비율의 근사치를 예측하는 모델로는 여러가지가 알려져 있다. 이러한 방향으로의 연구의 첫 결과는 19세기 말에 증명된 소수 정리인데, 이는 무작위로 선택된 한 수가 소수일 확률은 그 수의 자릿수, 곧 로그값에 반비례함을 알려준다.

역사

• 유클리드(Euclid)

이집트인들의 기록을 살펴보자면 그들이 소수에 대한 약간에 지식이 있었던 것으로 보인다. 예를 들어, Rhind papyrus에는 여러가지 소수들과 합성수 들이 쓰여져 있었다. 그러나 실질적으로 소수에 대한 연구가 시작된 것은 고대 그리스 부터였다. 유클리드(Euclid)가 저술한 원론(기원전 300년)에서는 몇 가지 기본적이고 중요한 증명들이 있는데 예를 들면 소수의 무한성도 그 중 하나였다. 또한 유클리드는 Mersenne 소수로 부터 어떻게 완전수를 만들 수 있는지도 보였다. 에라토스테네스(Eratosthenes)가 고안한 에라토스테네스 체(Sieve of Eratosthenes)는 소수를 찾기에는 가장 간단한 방법이지만 현재 큰 소수를 찾는 컴퓨터는 이 알고리즘을 택하지 않는다. 그리스 이후 17세기까지 소수에 대한 연구는 큰 진보를 하지 않았다.

• 페르마(Pierre de Feramt)

1640년 피에르 데 페르마 (Pierre de Fermat) 는 그의 페르마 소정리 (Fermat's little theorem)를 발견하였고, 이는 후에 라이프니츠(Leibnitz)와 오일러(Euler)에 의해 증명되었다. 참고적으로 페르마 소정리의 특정 부분은 훨씬 전부터 중국에서도 알려져 있었다. 페르마는 n=4 일 때 까지를 검토해 본 후 모든 2^2ⁿ+1 꼴의 수는 소수일 것이라고 추측하였으나 그 54번 째 페르마 수인 $2^{32}+1$은, 오일러에 의해 641의 배수임이 밝혀졌다.

• 마린 메르센느(Marin Mersenne)

프랑스의 수도사 마린 메르센느(Marin Mersenne)는 $2^{p}-1$ 꼴의 소수(p는 소수)에 대한 연구를 하였고, 이 공로를 인정받아 $2^{p}-1$ 꼴의 소수는 나중에 메르센느 소수라는 이름이 붙는다.

• 오일러(Leonhard Euler)

오일러의 정수에 대한 연구는 소수에 대해 많은 결과를 낳았는데, 그는 다음과 같은 형태의 무한 급수

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ + ${\frac {1}{5}}$ + ${\frac {1}{7}}$ + ${\frac {1}{11}}$ + ···

가 발산함을 보여, 소수가 무한함을 유클리드와는 다른 방식으로 증명하였다. 또한 오일러는 2^p-1(2^p-1) 꼴의 수 (이 때, 두번째 항은 메르센느 소수) 들이 모두 유일한 짝수 완전수 꼴 임을 보였다. 하지만 현재까지도 홀수 완전수가 존재하는지 존재하지 않는지에 대한 어떠한 증명도 발견되지 않고 있다.

• 르장드르(Adrien-Marie Legendre)

19세기 초에, 르장드르(Legendre)와 가우스(Gauss)는 독립적으로 $x$가 무한대로 발산할 때, $x$ 보다 작은 소수의 개수는 $x/log(x)$와 같다는 사실을 발견하였다. 1859년에 리만은 그의 논문에서 제타 함수(zeta-function)에 대한 아이디어를 선보였다. 리만의 아이디어를 이용하여 1896년 아다마르(Hadamard)와 발레푸생(Vallée-Poussin)은 독립적으로 소수 정리를 증명하였다. 이 후 수학자들은 매우 큰 수에 대하여, 이 수가 소수인지 아닌지 (짧은 시간에) 판단할 수 있는 방법을 모색했다. 이에 따라 1877년에는 페르마 소수들을 위한 Pépin's 테스트가, 1878년엔 Proth의 정리, 1856년엔 메르센느 소수들을 위한 Lucas–Lehmer 테스트 등이 발견되었다. 현대에 가장 많이 쓰이는 알고리즘으로는 APRT-CL, ECPP, AKS 등이 있지만 여전히 더 나은 알고리즘을 찾기 위해 많은 수학자들이 노력하고 있다. 오랜 시간동안 소수는 순수 수학 외에는 아무 쓸모가 없다고 판단되었으나, 1970년 발명된 RSA 암호 방식 (소인수 분해가 오랜 시간이 걸린다는 사실을 이용한 암호화 방식)을 통해 소수에 대한 생각이 완전히 바뀌게 되었다.

종류

• Balanced primes (균형잡힌 소수)

그 전 소수와 그 다음소수의 평균이 소수가 되는 수. 즉, 소수들만 모아놓은 수열 ${p_{n}}$ 이 있을 때, $p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}$ 을 만족하는 소수 $p_{n}$ 을 균형잡힌 소수라 한다. 예를 들어, 소수 53은 그 전 소수 47과 그 다음 소수 59의 평균이므로 균형잡힌 소수이다. ( OEIS의 A006562번 수열에서 확인 할 수 있다.) 균형잡힌 소수들의 종류로는 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733 등이 있다.

• Bell number primes (벨 수 소수)

벨 수는, 수학자 Eric Temple Bell 에서 따온 이름으로, 조합론에서 n 개의 원소로 구성되어 있는 집합을 분할하는 방법을 나타내며, 몇 가지 벨 수는 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975 등 이 있다. 이 때, 이 벨 수 들 중에서 소수인 것들을 벨 수 소수 라 한다. 처음 몇 벨 수 소수로는 2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 등이 있으며, 이는 OEIS 의 A051130 번 수열에서 찾을 수 있다.

• Carol primes (캐롤 소수)

캐롤 소수는 $(2^{n}-1)^{2}-2$식을 만족하는 소수이다. 캐롤 소수로는 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527 등이 있다.

• Centered decagonal primes (중앙 십각 소수)

$(5(n^{2}-n))+1$을 만족하는 소수다. 다음 식만 만족하는 수들은 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451,551, 661, 781, 911, 1051, 등이 있으며, 이 들 중, 소수 인 것을 바로 십각수(Centered decagonal number)라 한다. 이 십각수의 특징은 가운데 구슬이 하나 있고, 그 주위를 10각형이, 그 주위를 20각형이 ... 이렇게 둘러 쌓아낳아가는 수이다. 중앙 십각 소수는 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531 등이 있다.

• Centered heptagonal primes (칠각 소수)

이는 위 중앙 십각 소수와 비슷하지만, 칠각형으로 둘러 쌓아나간다는 점이 다르다. 칠각수는 $(7n^{2}-7n+2)/2$ 식을 만족하는 수를 가리키며, 이들 중 소수들을 칠각 소수라 한다. 칠각 소수는 43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691 등이 있다.

• Centered square primes (사각 소수)

이는 위 십각소수나 칠각 소수와 같지만, 이는 사각형으로 둘러 쌓아나간다는 점이 다르며 $n^{2}+(n+1)^{2}$의 공식을 만족하는 소수이다. 사각 소수는 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621 이 있다.

• Centered triangular primes (삼각 소수)

한 점을 중심으로 삼각형으로 덮어 나갈 때, 만족하는 점의 개수를 삼각수라고 하고, 이 삼각수들 중에 소수가 되는 수를 삼각 소수라 할 때, 이는 $(3n^{2}+3n+2)/2$의 공식을 만족한다. 삼각 소수는 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251 등이 있다.

특징

• 소수는 1보다 큰 자연수이다. 즉, 1은 소수가 아니다.
• 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이다. 즉, 소수의 약수는 2개뿐이며, 역도 성립한다.
• 2는 소수이지만, 2를 제외한 모든 짝수는 2를 약수로 가지므로 소수가 아니다.
• 2, 3을 제외한 모든 소수는 자연수 n에 대해 $6n-1$ 혹은 $6n+1$ 꼴이다. 역은 성립하지 않는다.

예제

• 에라토스테네스의 체(Sieve of Eratosthenes)

1~100 까지의 모든 소수를 구한다고 가정했을 때,

1. 1은 제거
2. 지워지지 않은 수 중 제일 작은 2를 소수로 채택하고, 나머지 2의 배수를 모두 지운다.
3. 지워지지 않은 수 중 제일 작은 3을 소수로 채택하고, 나머지 3의 배수를 모두 지운다.
4. 지워지지 않은 수 중 제일 작은 5을 소수로 채택하고, 나머지 5의 배수를 모두 지운다.
5. 지워지지 않은 수 중 제일 작은 7을 소수로 채택하고, 나머지 7의 배수를 모두 지운다.
6. 지워지지 않고 남은 수는 전부 소수이다.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

• C++

void getChe(int num) {
   int *arr;
   arr = (int *)malloc(sizeof(int) * num);
   int i = 2;

   // 입력받은 수 만큼 배열에 모두 초기화 해둔다.

   for (i = 2; i <= num; i++) {
       arr[i] = i;
   }
   
   for (i = 2; i <= num; i++) { 
       if (arr[i] == 0) // 이미 체크된 수의 배수는 확인하지 않는다.
           continue;
       for (int j = i + i; j <= num; j += i) { // i를 제외한 i의 배수들은 0으로 체크
           arr[j] = 0;
       }
   }

   // 출력

   for (i = 2; i <= num; i++) {
       if (arr[i] != 0)
           cout << arr[i] << " ";
   }
}

• JAVA

public class PrimeNumber1 {	
  public static void getPrime(int num, ArrayList<Integer> prime) {
    prime.add(2); 
	
    for (int i = 2; i <= num; i++) {
      for (int j = 0; prime.size() > j; j++) {
        if (i % prime.get(j) == 0) break; // 소수가 아닌 경우 pass
			
        if (j + 1 == prime.size()) // 소수일 때
             prime.add(i);
        }
     }
	
     for (Integer result : prime) {
         System.out.println(result);
     }
  }

  public static void main(String[] args) {
     ArrayList<Integer> prime = new ArrayList<Integer>();

     long start = System.currentTimeMillis();
     getPrime(30000, prime);
     long end = System.currentTimeMillis();
     System.out.println("수행시간 : " + (end - start));
  }
}

• 파이썬

n=1000
a = [False,False] + [True]*(n-1)
primes=[]

for i in range(2,n+1): 
  if a[i]:
    primes.append(i)
    for j in range(2*i, n+1, i):
        a[j] = False
print(primes)

참고자료

• 〈소수 (수론)〉, 《위키백과》</ref>
• 수학방 공식 홈페이지 - https://mathbang.net/199
• 김동이, 〈정수론〉, 《오픈튜토리얼스》, 2015-04-09
• 〈2. 소수 구하기 - 에라토스테네스의 체〉, 《위키독스》
• 신매력, 〈(C++) 소수 구하기 최적의 알고리즘 (2) - 에라토스테네스의 체〉, 《티스토리》, 2013-09-29
• 신매력, 〈(JAVA) 소수 구하기 최적의 알고리즘 (1)〉, 《티스토리》, 2013-09-20
• jjycjn, 〈소수(Prime number) 이야기〉, 《티스토리》, 2016-09-09
• Psi, 〈여러가지 소수(Prime number)들〉, 《티스토리》, 2007-12-28

같이 보기

• 자연수
• 약수
• 소인수분해

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