피보나치 수열

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다.

개요

피보나치 수열은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다. 이 수열의 항을 피보나치 수(Fibonacci Number)라고 부른다. 편의상 0을 0번째 항으로 놓기도 한다.

• 1항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.

$F_{1}=F_{2}=1$
$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\qquad (n\in \{3,4,\dots \})$

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 

• 0항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.

$F_{0}=0$
$F_{1}=1$
$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\qquad (n\in \{2,3,4,\dots \})$

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 

역사

최초의 피보나치 수열은 기원전 450년 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책에서 이와 같은 수열이 최초 언급되었다. 이후 이탈리아의 수학자인 레오나르도 피보나치가 1202년 저서인 '산반서'라는 책에서 '토끼의 번식 증가량'을 언급하며 연구하였다.

• 첫 달에 새로 태어난 토끼는 한 쌍만이 존재한다.
• 두 달 이상 된 토끼는 번식이 가능하다.
• 번식이 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다.
• 이 때 토끼는 죽지 않는다.

첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 첫 달에는 번식을 할 수 없어 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터는 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다. 이 때 n번째 달에 a 쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b쌍이 있었다고 하면 그다음 n+2 번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전 달인 n+1번째 달에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문이다.

실제 피보나치 수열은 예전부터 알려져 있었으나 피보나치 수의 생성 함수는 완전히 정리되기까지 오랜 시간이 걸렸다. 1765년 레온하르트 오일러가 최초로 이 생성함수를 정리하여 발표했었고 이후 1848년 자크 비네가 이 생성함수를 재발견하여 발표했고 결국 피보나치 수의 생성함수는 비네의 식이라고 불렸다.

정의

항등식

피보나치 수의 일반항은 다음과 같다.

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}$

여기서 $\varphi$는 황금비이며, ${\sqrt {5}}$는 5의 제곱근이다. 이를 비네 공식(Binet's formula)이라고 한다.

다음과 같은 항등식이 성립하며, 카시니 항등식(Cassini's identity)이라고 한다.

$F_{n+1}F_{n-1}-{F_{n}}^{2}=(-1)^{n}$

다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 도가뉴 항등식(d'Ocagne's identity)이라고 한다.

$F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}$

다음과 같은 항등식이 성립한다.

$\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}$

피보나치 수를 점화식을 통해 '음의 정수'에까지 확장할 수 있다. 이 경우, 비네 공식이 여전히 성립하며, 또한 다음이 성립한다.

$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$

급수 공식

피보나치 수의 합

$\sum _{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1$

피보나치 수의 교대합

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}F_{k}=(-1)^{n+1}F_{n-1}+1$

피보나치 수의 제곱합

$\sum _{k=0}^{n}F_{k}^{2}=F_{n}F_{n+1}$

피보나치 수의 세제곱합

$\sum _{k=0}^{n}F_{k}^{3}={\frac {F_{3n+2}+(-1)^{n+1}6F_{n-1}+5}{10}}$

처음 몇 피보나치 수의 홀수째, 짝수째, 3의 배수째 항의 합은 다음과 같다.

$\sum _{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n}$

$\sum _{k=0}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1$

$\sum _{k=0}^{n}F_{3k}={\frac {F_{3n+2}-1}{2}}$

피보나치 수의 역수의 합은 수렴하며, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}&=3+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{F_{n}F_{n+1}F_{n+2}}}\\&={\frac {41}{12}}-{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}F_{n+4}}}\\&={\frac {11749}{5280}}-{\frac {60}{11}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}F_{n+4}F_{n+5}F_{n+6}}}\end{aligned}}$

생성 함수

피보나치 수의 생성 함수는 다음과 같다.

$\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

피보나치 수의 역수의 생성 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}x^{n}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}{\sqrt {5}}}{\varphi ^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n}}{F_{n}\varphi ^{2n}}}\\&={\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi -x}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n}}{F_{n}(F_{2n}\varphi +F_{2n-1})}}\\&={\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi -x}}-{\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi ^{3}+x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{F_{n}\varphi ^{4n}}}\\&={\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi -x}}-{\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi ^{3}+x}}+{\frac {x{\sqrt {5}}}{\varphi ^{5}-x}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n}}{F_{n}\varphi ^{6n}}}\end{aligned}}$

점근 공식

이웃하는 피보나치 수의 비는 황금비로 수렴한다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi$

또한, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\frac {\varphi ^{n-{\frac {1}{n}}}}{\sqrt {5}}}\leq F_{n}\leq {\frac {\varphi ^{n+{\frac {1}{n}}}}{\sqrt {5}}}$

수론적 성질

피보나치 수열은 서로 인접한 항끼리 정수의 서로소(1 이외에 공약수를 갖지 않는 둘 이상의 양의 정수)이다. 이는 귀납법으로 간단히 증명할 수 있다.

예시

황금비율(황금분할)의 자기닮음성, 자연에서 꽃 씨의 배열, 나무의 갈라짐, 프렉탈 등으로 자주 등장한다. 주식, 암호화폐 시장에서의 엘리엇 파동에서도 등장한다.

참고자료

• 〈피보나치 수열〉, 《나무위키》
• 〈피보나치 수〉, 《위키백과》
• 〈Fibonacci number〉, 《wikipedia》

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