위키원
타원곡선
타원곡선(elliptic curve)은 
형태의 방정식으로 나타나는 곡선으로서, 첨점이나 교차점 등의 특이점이 없는 것으로 중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y2 = P(x)는 곡면 종수 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수 곡선을 타원 곡선이라 한다.
개요
타원곡선은 타원하고 별로 상관이 없고, 형태상으로는 타원보다는 중괄호에 가까운 모양 으로서 '타원곡선'이란 이름이 붙은 이유는 타원의 둘레를 구하기 위한 적분에서 유래했던 역사적 이유 지만, 현재는 그것과 전혀 상관없이 사용 되고 있으며, 항목이 등재된 이유는 이름이 혼동스러워서인 것은 아니고, 수학 전반에서 엄청난 중요성을 갖고 있기 때문이다. 같은 대상을 실해석학에서, 복소해석학에서, 대수기하학에서, 정수론에서 모두 이야기할 수 있는 경우는 그렇게 많지 않다.
특징
- 그림 1은 y2=x3-9x-1 인 타원곡선이다. 실수 위에서의 타원곡선 군은 해당 타원곡선 위의 모든점들과 무한대 점이라고 명명된 특수 점으로 구성되고 여기에 덧셈이 정의된다. 점 P(x1 , y1)과 점 Q(x2, y2)를 더하기 위해서 P와 Q를 잇는 선을 그으면 타원곡선 위의 다른점 R과 교차한다. 만약 P=Q이면 점 P에 대한 접선을 그으면 된다. 계산한 점 R을 X축에 대칭을시킨 다른 점 S가 P+Q로 정의된다.
- 타원곡선 군에서의 덧셈의 특성
- 무한대 점은 O로 표기하며 타원곡선 위의 임의의 점 P에 대해서 P+O=P가 성립 되며, 무한대 점은 덧셈상의 항등원이 된다.
- 타원곡선 위의 임의의 점 P에 대해서 P+Q=O를 만족하는 점 Q가 존재하는데 Q=-P로 나타내며 뺄셈 R-S는 R+(-S)로 정의 되고, 점 -P는 점 P의 X축의 대칭점이 되기 때문에 점 P의좌표가 (x, y)이면 점 -P의 좌표는(x, -y)이 된다.
- 타원곡선 위의 임의의 점 P, Q와 R에 대해서 P+(Q+R)=(P+Q)+R이 성립한다. 타원곡선 위의 임의의 점 P와 Q에 대해서 P+Q=Q+P가 성립 하므로 타원곡선 군은'가환군'이 된다.
- 타원곡선 위에서의 기하학적 연산
- 타원곡선 위에서의 기하학적 연산은 그대로 대수적인 연산으로도 설명 이 된다. (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)을 각각 점 P, Q, S=P+Q의 좌표라 한다면, 점 P+Q의 좌표(x3, y3)을 통해서 표현 하고자 x1, x2, y1, y2 을 통해서 표현하고자 한다. R = (x3, y3)=-S 가 성립 되므로 y=αx+β 를 점 P와 Q를 지나는 선의 방정식이라 하면 이렇게된다.
만약, (αx+β)2 = x3+ax+b가 성립 하면 점 P와 Q를 지나는 선 위의 점(x, αx+β)는 타원곡선위의 점이 되고, 3차 방정식 x3 - (αx+β)2 + ax+b의 각각의 근에 대하여 한 개의 교차점 이 존재하게 된다. (x1, αx1+β)와 (x2, αx2+β)는 타원곡선 위의 두 점 P와 Q이기 때문에 이미 x1, x2가 근임을 알고 있다. 차수가 가장 높은 항의 계수가 1인 다항식에서 그 다항식에 존재하는 모든 근들의 합은 차수가두 번째로 높은 항의 계수에‘-’를 붙은 값과 동일하기 때문에 x1+ x2 + x3 = α2 이 된다. 나머지 근은 x3 = α2 - x1 - x2와 y3 = αx3+β = y1 + α(x3 - x1)이 된다. 그러므로 P+Q는 이렇다.
P+Q에서 P=Q가 되며 는 점 P에서의 미분 값이 되기 때문에 음함수 미분을 하면 2yy'=3x2 / 2y1 가 된다.
각주
참고자료
- 코원동서, 〈타원곡선 암호 시스템(공개키 암호)〉
- 〈타원곡선〉, 《위키백과》
