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피보나치 수열

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피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다. 이탈리아의 수학자인 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)의 이름을 딴 수열이다. 피보나치 수열은 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...} 와 같이 뒤로 갈수록 급격히 증가한다.

개요[편집]

피보나치 수열은 첫 번째 항과 두 번째 항이 1이며 그 뒤의 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열이다. 이 수열의 항을 피보나치 수(Fibonacci Number)라고 부른다. 편의상 0을 0번째 항으로 놓기도 한다.

  • 1항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 
  • 0항부터 시작할 경우 다음과 같이 정의된다.



0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... 

역사[편집]

최초의 피보나치 수열은 기원전 450년 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책에서 이와 같은 수열이 최초 언급되었다. 이후 이탈리아의 수학자인 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)가 1202년 저서인 '산반서'라는 책에서 '토끼의 번식 증가량'을 언급하며 연구하였다.[1]

  • 첫 달에 새로 태어난 토끼는 한 쌍만이 존재한다.
  • 두 달 이상 된 토끼는 번식이 가능하다.
  • 번식이 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다.
  • 이 때 토끼는 죽지 않는다.

첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 첫 달에는 번식할 수 없어 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터는 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다. 이때 n번째 달에 a쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b쌍이 있었다고 하면 그다음 n+2번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전 달인 n+1번째 달에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문이다.[2]

실제 피보나치 수열은 예전부터 알려져 있었으나 피보나치 수의 생성 함수는 완전히 정리되기까지 오랜 시간이 걸렸다. 1765년 레온하르트 오일러가 최초로 이 생성함수를 정리하여 발표했었고 이후 1848년 자크 비네가 이 생성함수를 재발견하여 발표했고 결국 피보나치 수의 생성함수는 비네의 식이라고 불렸다.[3]

항등식[편집]

  • 피보나치 수의 일반항은 다음과 같다.

여기서 는 황금비이며, 는 5의 제곱근이다. 이를 비네 공식(Binet's formula)이라고 한다.

  • 카시니 항등식(Cassini's identity)
  • 도가뉴 항등식(d'Ocagne's identity)
  • 다음과 같은 항등식이 성립한다.
  • '음의 정수', 이 경우, 비네 공식이 여전히 성립한다.
[2]
0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610, -987, ...

급수 공식[편집]

  • 피보나치 수의 합
  • 피보나치 수의 교대 합
  • 피보나치 수의 제곱 합
  • 피보나치 수의 세제곱 합
  • 피보나치 수의 홀수 째 항의 합
  • 피보나치 수의 짝수 째 항의 합
  • 피보나치 수의 3의 배수 째 항의 합
  • 피보나치 수의 역수의 합은 수렴한다.
[2]

생성 함수[편집]

  • 피보나치 수의 생성 함수
  • 피보나치 수의 역수의 생성 함수
[2]

점근 공식[편집]

  • 이웃하는 피보나치 수의 비는 황금비로 수렴
  • 다음과 같은 부등식이 성립
[2]

수론적 성질[편집]

피보나치 수열은 서로 인접한 항끼리 정수의 서로소(1 이외에 공약수를 갖지 않는 둘 이상의 양의 정수)이다. 이는 귀류법으로 증명할 수 있다.[2]

예시[편집]

피보나치 수열은 기본적으로 수학뿐만 아니라 자연에서 생물학적 패턴, 컴퓨터 응용 프로그램, 경제학 등 다양한 분야에서 사용되고 있다.[1]

  • 자연 : 생물학적 패턴에 자주 등장한다. 솔방울의 모양, 꽃씨의 배열, 꽃잎의 수, 나선형 엽상식물, 꿀벌의 가계도 등.
  • 음악 : 조셉 쉴린저(1895-1943)는 멜로디를 피보나치 수열에 맞춰 간격을 두는 작곡 체계를 개발했다.
  • 경제 : 엘리어트 파동과 같은 주식, 암호화폐 시장 차트에서 기술적 분석에 사용된다.
  • 컴퓨터 : 난수 생성기, 스크럼 방법론을 사용하는 소프트웨어 개발, 네트워크 토폴로지를 위한 병렬 알고리즘 등.

각주[편집]

  1. 1.0 1.1 "Fibonacci number", Wikipedia
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 피보나치 수〉, 《위키백과》
  3. 피보나치 수열〉, 《나무위키》

참고자료[편집]

같이 보기[편집]


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