E91 프로토콜

E91 프로토콜(E91 protocol)란 두 입자 간의 비고전적 비 국소적 양자 상관관계를 직접 이용하는 프로토콜로, 1992년에 아르투어 에케르트(Artur Ekert)에 의해 고안되었다. 최대 양자 얽힘 상태(EPR)에 있는 입자 두 개를 각각 한 개씩 나눠 가져서 각각의 입에 대해 임의의 기저를 선택하여 양자 측정을 수행한 후, 각자 선택한 기저를 공개적으로 비교하여 양자 키를 분해한다.

개요

아르투어 에케르트에 의해 고안된 E91 프로토콜은 두 입자 간의 비고전적 비 국소적 양자 상관관계를 직접 이용한다. 최대 양자 얽힘 상태에 있는 두 개의 입자를 하나씩 나눠 각각의 입자에 임의 기저를 선택해서 양자를 측정하고, 각자 선택한 기저를 공개적으로 비교하여 양자 키를 분해한다.

개념

비밀연쇄 분배법인 BB84 프로토콜이나 B92 프로토콜은 서로 직교하지 않는 양자상태는 복제불능이라는 이론의 의해서 안정성이 보장된다. 두 프로토콜 모두 양자역학의 불확정성 관계가 본질적인 역할을 수행하며, 두 입자가 상관된 양자상태인 EPR 쌍을 이용하여 암호 열쇠를 안전하게 분배할 수 있다. E91 프로토콜의 경우에는 송수신자가 스핀 0으로 결합한 두 입자계, EPR 쌍을 관측한다.

예시 1

$|\psi _{cnt}>={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>_{A}|1>_{B}-|1>_{A}|0>_{B})={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>_{A}|1>_{B}-|1>_{A}|0>_{B})$

양자얽힘 상태 $|\psi _{cnt}$〉를 사용한다. 예를 들어 광자 2개의 편광을 얽히게 해서 앨리스와 밥에게 각각 보낸다고 하자. 앨리스와 밥은 얽힘 상태 $S$를 준비한다. 앨리스와 밥에게 각각 입자 A와 B를 보내면, 앨리스와 밥은 각각 임의로 기저를 선택하여 관측한다. 앨리스가 기저 '1'로 관측해서 '0'을 얻었다고 할 때, 상태는 $|0>|1>$로 천이한다. 다음에 밥이 기저 '1'로 관측할 때는 반드시 '1'을 얻게 되지만, 기저를 '2'로 선택한 경우에는 앨리스의 관측 결과와는 상관없이 임의의 값을 얻게 된다. 이를 종합하면 다음과 같다

1. 앨리스와 밥이 서로 다른 기저로 관측하면 각각 랜덤한 비트를 관측한다.
2. 앨리스와 밥이 동일 기저로 관측하면 두 사람이 관측한 비트는 반드시 달라야 한다. 만약 앨리스와 밥이 관측한 비트를 각각 $b,c$라고 한다면 $b\oplus c=1$을 만족한다. 따라서 밥이 보존하고 있는 비트를 ${\grave {b}}:=c\oplus 1$로 하면 $b={\grave {b}}$를 만족하여 일치하는 비트를 공유할 수 있다.

다음은 위의 원리를 이용한 랜덤 비트 공유 프로토콜이다.

1. 앨리스와 밥은 각각 기저 $p_{i},{\grave {p_{i}}}$를 임의로 선정한다.
2. 얽힘 상태 소스 $S$는 상태 $|\psi _{cnt}$〉를 생성하여 각각 앨리스와 밥에게 발신한다.
3. 앨리스와 밥은 상태를 관측한다. 관측 결과를 $b_{i},c_{i}$라고 하고 앨리스는 $b_{i}$를 밥은 ${\grave {b_{i}}}=c_{i}\oplus 1$를 후보 비트로 보존한다.
4. 앨리스와 밥은 고전 통신로를 이용하여 기저 $p_{i},{\grave {p_{i}}}$를 교환하고 일치하는 부분 집합 $I=\{i|p_{i}={\grave {p_{i}}}\}$를 구한다.
5. 밥은 $\forall j\in J$의 부분집합 $J$를 임의로 선택해서 $\forall j\in J$에 대해 $b_{j}={\grave {b_{j}}}$를 조사한다. 맞으면 $\{b_{k}|k\in I-J\}$ 및 $\{{\grave {b_{k}}}|k\in I-J\}$를 임의 비트열로 공유한다.

관측해서 $b_{j},{\grave {b_{j}}}$를 얻은 이후의 과정은 BB84 프로토콜과 동일하다. E91 프로토콜의 얽힘 소스 를 연속적으로 이동 시켜 앨리스 측이 흡수하면 BB84 프로토콜과 비슷한 형태가 된다. 다시 말해, 앨리스가 스스로 얽힘 상태 $|\psi _{cnt}$〉를 생성하여 자신과 밥에게 송신하고 관측하는 상황이 된다. 얽힘 상태인 원 $S$를 제삼자가 담당할지 앨리스나 밥이 겸임할 것인지에 담긴 의미는 암호로써 어떤 안전성을 더 중시하는가에 달려있다. 안전성은 다음의 두 가지를 고려한다.

• 앨리스와 밥이 공유하고 있는 비트를 제삼자에게 도청당하지 않도록 하는 안전성. $S$를 앨리스나 밥에게 겸임시키면 제삼자가 존재하지 않게 되어 안전성이 명확하게 향상한다.
• 앨리스나 밥이 부정행위를 하는 것이다. 거짓 비트를 상대방에게 참이라고 속이는 일이 일어나지 않도록 하는 안전성이다. 이런 경우 $S$를 겸임하고 있는 측이 부정행위를 하기가 더 쉽다. 이를테면 단일 광자 대신에 얽힘 상태를 상대방에게 보내어 상대방의 관측 결과 정보를 인출할 가능성이 있다.

전자와 후자 중 전자의 경우 랜덤 비트를 공유하는 것만이 목적인 경우에는 의미 없지만, 이의 프로토콜을 망각통신의 암호로 이용하는 경우에는 중요할 수 있다.

예시 2

$|\psi >_{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>_{A}|1>_{B}-|1>_{A}|0>_{B})={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>_{A}|1>_{B}-|1>_{A}|0>_{B})$

EPR 쌍은 스핀 ${\frac {1}{2}}$인 입자를 이용하면 위와 같다. EPR 쌍은 두 개의 광자로도 만들어질 수 있는데, EPR 쌍은 z축의 반대방향으로 발사되며 송신자와 수신자는 서로 떨어진 장소에서 각각의 편광 검출기로 한 개의 입자의 스핀 방향을 관측한다. 단위 벡터 $a_{i}$와 $b_{j}(i=1,2,3)$로 검출기의 방향을 표시하며 이 두 단위 벡터가 z축에 수직한 xy 평면에 위치한다. 송신자는 $a_{i}$ 검출기를 이용하고 수신자는 $b_{i}$ 검출기를 이용하여 스핀의 방향을 측정할 때, 상행인 + 방향과 하향인 - 방향의 상관식은 다음과 같이 된다.

$E(a_{i},b_{j})=E_{++}(a_{i},b_{j})+E_{--}(a_{i},b_{j})-E_{+-}(a_{i},b_{j})-E_{-+}(a_{i},b_{j})=-(a_{i},b_{j})$

벨의 부등식 중 하나인 CHSH 부등식(Clauser, Horne, Shimony, Holt)을 유도하기 위해 다음과 같은 상관 함수를 생각한다.

$S=E(a_{1},b_{1})-E(a_{1},b_{3})+E(a_{3},b_{1})+E(a_{3},b_{3})$

위 식을 구하려면 송수신 자가 서로 다른 방향에서 EPR 쌍을 지정된 방향으로 네번 측정해야 한다. 양자역학적 관측결과는 다음과 같이 주어진다.

$S_{QM}=-\cos(\phi _{1}-\theta _{1})+\cos(\phi _{1}-\theta _{3})-\cos(\phi _{3}-\theta _{1})-\cos(\phi _{3}-\theta _{3})$

E91 프로토콜은 다음과 같다.

1. 송신자와 수신자는 EPR 쌍을 측정기를 사용하여 관측한다.
2. 송신자와 수신자는 검출기 방향을 공개하고 측정결과를 '다른 방향의 검출기로 이용한 결과'와 '같은 방향의 검출기를 이용한 결과'의 두 종류로 나누어 분류한다.
3. 송신자와 수신자는 '다른 방향의 검출기로 이용한 결과' 그룹에 속하는 결과만 공개하고 CHSH 부등식 $S$가 만족되는지를 확인한다.
4. CHSH 부등식 $S=-2{\sqrt {2}}$를 만족하는 경우에만 '같은 방향의 검출기를 이용한 결과' 그룹의 결과를 일회용 비밀번호 용도의 비밀열쇠로 사용한다.

만약 송수신 자가 EPR 쌍의 관측결과에서 E91 프로토콜에 의해 비밀 열쇠를 분배했다고 가정한다면, 도청자가 E91 프로토콜을 부수고 비밀열쇠를 가져가려고 했을 때 CHSH 부등식이 어떻게 변화하는가가 문제이다. 도청자가 EPR 쌍에서 정보를 훔치려고 시도할 때, 여기서 EPR 부등식을 유도한다고 가정한다. E91 프로토콜의 제 1 특징은 도청자가 송수신 자를 관측하기 위해 모든 EPR 쌍을 관측했다고 하더라도 도청자는 어떠한 정보도 얻어갈 수 없다는 것이다. 즉 비밀열쇠인 EPR 쌍 자체가 아니라, 송수신 자가 관측을 진행한 후 두번째 단계의 '같은 방향의 검출기를 이용한 결과' 데이터만을 선택해서 만들어지기 때문이다. 도청자가 암호열쇠의 정보를 얻으려면 EPR 쌍을 관측한 뒤에 다시 EPR 쌍을 송신자와 수신자에게 각각 발신해서 두 사람의 검출기 종류를 알아내야 한다. 그래서 도청자는 A와 B, 두 대의 검출기를 이용하여 $\phi _{A}$와 $\theta _{B}$ 방향에서 EPR 쌍의 스핀을 관측하고, 관측한 스핀과 동일한 방향으로 다시 두 입자를 발신한다. 도청자가 $\phi _{A}$와 $\theta _{B}$ 방향을 임의의 확률인 $P(\phi _{A},\theta _{B})=\left\vert a(\phi _{A},\theta _{B})\right\vert ^{2}$로 택한다고 할 때, 발신된 두 입자의 상태는 진폭 $a(\phi _{A},\theta _{B})$를 활용하여 다음과 같이 표현된다.

$\mid \Psi (A,B)\geqq \int _{0}^{2\pi }d\phi _{A}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{B}a(\phi _{A},\theta _{B})\mid \phi _{A}>_{1}\mid \theta _{B}>_{2}$

여기서 직교규격화가 되어있기 때문에 $\mid \Psi (A,B)>$도 다음 수식으로 규격화된다.

$<\Psi (A,B)\mid \Psi (A,B)>=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left\vert a(\phi _{A},\theta _{B})\right\vert ^{2}d\phi _{A}d\theta _{B}=1$

활용

• 온라인 뱅킹 시스템 : 온라인 뱅킹은 사람들이 인터넷을 통해 전 세계 어디서나 은행 계좌와 상호 작용할 수 있는 새로운 산업이다. 강력한 보안 시스템이 사용되지만 때로는 효과적이지 않은 경우가 존재하는데,

참고자료

• 조재완 외 7인, 〈[양자 암호 통신 기술]〉, 《한국원자력연구원》, 2007
• 노태곤, 윤천주, 김헌오, 〈[양자암호]〉, 《한국전자통신연구원》, 2006-10
• Rudy Raymond, 〈E91 Quantum Key Distribution Protocol〉, 《깃허브》, 2018-10-12

같이 보기

• 알고리즘
• 암호 알고리즘
• B92 프로토콜
• BB84 프로토콜

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