단층퍼셉트론

단층퍼셉트론(Single-Layer Perceptron)은 인공신경망(Artificial Neural Network)의 가장 기본적인 형태로, 입력층과 출력층으로만 구성된 단순한 구조를 가진다. 은닉층이 없는 신경망으로, 이 구조는 주로 선형적으로 분리 가능한 문제에서 사용된다. 단층퍼셉트론은 머신러닝 알고리즘 중에서 지도학습(Supervised Learning)의 한 예로, 주어진 입력 데이터에 대해 출력값을 도출하고 학습을 통해 가중치와 편향을 조정하는 방식으로 학습한다.

단층퍼셉트론은 뉴런의 동작을 수학적으로 모델링한 것으로, 입력 신호를 받아 특정한 가중치와 편향을 적용한 후 활성화 함수를 통해 이진 출력을 결정하는 방식으로 작동한다.

의미

단층퍼셉트론은 1958년 프랭크 로젠블랫(Frank Rosenblatt)에 의해 고안되었다. 당시 퍼셉트론은 인간의 신경망을 모방한 최초의 모델 중 하나로 큰 주목을 받았다. 초기에는 퍼셉트론이 모든 종류의 문제를 해결할 수 있을 것이라는 기대가 있었으나, 1969년 마빈 민스키(Marvin Minsky)와 세이무어 페퍼트(Seymour Papert)의 저서 "퍼셉트론(Perceptrons)"에서 XOR 문제와 같은 비선형 문제를 해결할 수 없다는 점이 수학적으로 증명되면서 연구는 일시적으로 침체되었다. 그럼에도 불구하고 퍼셉트론은 신경망 연구의 중요한 출발점이 되었으며, 이후 등장한 심층신경망과 더 복잡한 머신러닝 모델의 기초를 제공했다. 오늘날에는 주로 교육 목적으로 사용되며, 신경망의 기본 개념을 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

비록 단층퍼셉트론은 현재의 복잡한 문제를 해결하는 데는 적합하지 않지만, 여전히 간단한 이진 분류 문제에서 유용하게 사용할 수 있다. 특히 선형적으로 분리 가능한 데이터에서는 매우 빠르고 효율적인 모델로 사용될 수 있다. 또한 단층퍼셉트론은 온라인 학습(Online Learning)에서도 중요한 역할을 한다. 온라인 학습에서는 새로운 데이터가 들어올 때마다 즉각적으로 모델을 업데이트하며, 퍼셉트론의 간단한 구조는 이러한 연속적인 학습에 매우 적합하다.

구성 요소

단층퍼셉트론은 입력값과 가중치를 조합해 출력값을 계산하는 기본적인 신경망이다. 이는 크게 다섯 가지 핵심 구성 요소로 설명할 수 있다.

• 입력값(Input Values, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$): 퍼셉트론은 여러 개의 입력값을 받는다. 이 입력값은 예를 들어 이미지 인식의 경우 이미지의 각 픽셀값일 수 있으며, 텍스트 분석의 경우 단어의 특성일 수 있다. 각 입력값은 벡터로 표현되며, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 형태로 나타낼 수 있다.

• 가중치(Weights, $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$): 입력값은 각각 고유의 가중치와 결합된다. 이때 각 입력값에 할당된 가중치는 $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$으로 표현되며, 각 입력값이 최종 출력에 미치는 영향을 조정하는 역할을 한다. 가중치가 클수록 해당 입력값의 영향이 커진다. 초기에는 이 가중치들이 임의로 설정되며, 학습 과정을 통해 조정된다.

• 편향(Bias, $b$): 퍼셉트론은 모든 입력값과 가중치의 결합에 더해지는 추가적인 상수인 편향 $b$를 가진다. 편향은 활성화 함수가 0 이상의 값을 출력하도록 도와주는 역할을 한다. 즉, 편향은 학습 과정에서 신경망이 보다 유연하게 작동할 수 있도록 해준다.

• 합산기(Summation Unit): 입력값과 가중치의 곱을 모두 더한 후, 편향을 더해 최종 결과를 계산하는 부분이다. 이 과정은 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

$z=\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}+b$

여기서 $z$는 입력값과 가중치의 곱셈과 편향의 합을 의미하며, 최종 출력값을 결정하는 중요한 요소이다.

• 활성화 함수(Activation Function): 합산된 결과 $z$는 활성화 함수에 의해 최종 출력값으로 변환된다. 단층퍼셉트론에서 자주 사용되는 활성화 함수는 계단 함수(Step Function)로, 이 함수는 입력값이 특정 임계값을 넘으면 1을, 그렇지 않으면 0을 출력하는 방식으로 작동한다. 수식은 다음과 같다.

$y={\begin{cases}1&{\text{if }}z>0\\0&{\text{if }}z\leq 0\end{cases}}$

이 함수는 이진 분류(Binary Classification) 문제에서 매우 유용하며, 데이터를 두 개의 클래스로 나누는 데 사용된다.

수학적 원리

단층퍼셉트론의 수학적 원리는 입력값 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$과 그에 대응하는 가중치 $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$의 내적을 계산한 후, 이를 편향 $b$와 더한 값을 활성화 함수로 처리하는 방식이다. 이를 수식으로 설명하면 다음과 같다.

• 입력 벡터 $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$과 가중치 벡터 $\mathbf {w} =(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})$가 주어지면, 퍼셉트론은 두 벡터의 내적을 계산하여 편향 $b$를 더한다. 이때 계산된 값 $z$는 활성화 함수로 전달된다.

$z=\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}+b$

• 활성화 함수는 이 값 $z$를 처리하여 출력 $y$를 결정한다.

학습 과정

단층퍼셉트론은 지도 학습을 통해 학습한다. 학습 과정은 주어진 입력 데이터에 대해 가중치와 편향을 조정하여 예측값이 실제 값에 근접하도록 만드는 과정이다. 이 과정은 다음과 같은 단계로 이루어진다:

1. 초기화(Initialization): 가중치 $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$와 편향 $b$를 임의의 값으로 초기화한다.

2. 예측(Prediction): 주어진 입력값 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$에 대해 합산된 결과 $z$를 계산하고, 활성화 함수에 의해 출력값 $y$를 예측한다:

$z=\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}+b$

3. 오차 계산(Error Calculation): 예측된 출력값 $y$와 실제 값(레이블) 사이의 차이를 오차로 계산한다. 이 오차는 퍼셉트론이 학습하는 데 있어 매우 중요하다. 오차가 클수록 가중치가 크게 조정된다.

${\text{Error}}={\text{Actual Output}}-{\text{Predicted Output}}$

4.가중치 및 편향 조정(Weight and Bias Update): 오차를 바탕으로 가중치와 편향을 수정한다. 퍼셉트론 학습 규칙(Perceptron Learning Rule)에 따르면, 가중치는 다음과 같은 방식으로 업데이트된다.

$w_{i}\leftarrow w_{i}+\Delta w_{i}$

여기서 $\Delta w_{i}=\eta \cdot ({\text{Actual Output}}-{\text{Predicted Output}})\cdot x_{i}$이며, $\eta$는 학습률(Learning Rate)을 나타낸다. 학습률은 가중치가 얼마나 빠르게 조정될지를 결정한다. 편향 $b$ 역시 비슷한 방식으로 업데이트된다.

$b\leftarrow b+\eta \cdot ({\text{Actual Output}}-{\text{Predicted Output}})$

5. 반복(Iteration): 학습은 여러 번 반복되며, 에포크(Epoch)를 거듭할수록 오차가 점차 줄어들고, 최종적으로 퍼셉트론이 문제에 적합한 가중치와 편향을 학습하게 된다.

한계

단층퍼셉트론의 가장 큰 한계는 선형적으로 분리 가능한 문제만 해결할 수 있다는 점이다. 퍼셉트론은 입력 데이터를 직선 또는 초평면으로 나눌 수 있을 때만 성공적으로 작동한다. XOR 문제는 단층퍼셉트론이 해결할 수 없는 대표적인 예이다. XOR 문제에서는 두 개의 입력값이 비선형적인 방식으로 분리되어 있어, 단순한 선형 분류로는 해결이 불가능하다. 이 한계는 단층퍼셉트론이 심층 신경망(Deep Neural Networks)으로 발전하는 데 중요한 동기가 되었다. 심층 신경망은 여러 개의 은닉층을 사용해 비선형적인 문제도 해결할 수 있도록 만들어졌으며, 이는 퍼셉트론의 발전된 형태이다.

단층퍼셉트론은 인공신경망과 머신러닝의 기초 개념을 이해하는 데 매우 중요한 모델이다. 비록 선형적으로 분리 가능한 문제만 해결할 수 있는 한계를 가지고 있지만, 인공지능 역사에서 큰 기여를 했으며, 이후의 발전에 있어 중요한 초석이 되었다. 오늘날에도 여전히 교육적 목적으로 많이 사용되며, 신경망의 기본 동작 원리를 설명하는 데 유용한 도구로 남아 있다.

참고자료

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• 〈(AI 이야기) 인공지능의 결정적 인물들 (4)딥러닝의 선구자, 로젠블랫〉, 《레터웍스》, 2021-11-16
• 호사린가마데라닌, 〈신경망 (1) - 단층 퍼셉트론 (Single Layer Perceptron)〉, 《티스토리》, 2021-11-21
• Majestyblue, 〈11. 단층 퍼셉트론의 한계-1.XOR 문제〉, 《티스토리》, 2022-01-11
• 삼식이, 〈퍼셉트론〉, 《벨로그》, 2023-05-01

같이 보기

• 퍼셉트론
• 다층퍼셉트론
• 인공지능

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