벡터

벡터(Vector)는 물리학 및 공학에서 벡터는 위치, 속도, 힘 등과 같이 크기와 방향성을 갖는 물리량을 나타내는데 사용하는 기하학적 대상이다. 수학의 관점에서 벡터는 일반적으로 추상적인 벡터공간을 구성하는 원소이다. 물리학과 공학에서는 벡터공간이 유클리드 공간인 경우를 대부분 다루기 때문에, 수학에서의 일반적인 의미가 제한되어 사용되고 있다고 할 수 있다. 이런 맥락에서, 물리학에서의 벡터는 차원의 유클리드 공간에서 크기와 방향을 갖고 있는 기하학적 대상으로, 때로는 유클리드 벡터(Euclidean vector), 기하 벡터(geometric vector), 공간 벡터(spatial vector)라고도 부른다. 벡터는 힘, 위치, 속도 등과 같이 크기와 방향을 갖는 물리량을 표현하는데 편리하기 때문에, 물리학을 기술할 때 매우 기본적인 역할을 한다. 벡터로 표현되는 물리량을 벡터량이라고 부른다. 참고로, 벡터와 대비하여 크기만을 갖는 대상을 스칼라(scalar)라고 하며, 벡터와 유사한 변환 규칙을 갖는 양으로 유사벡터(pseudovector)와 텐서(tensor) 등이 있다.

백터의 표시법

그림1 벡터의 도식법 (출처-한국물리학회)

그림 2. (a) 지면으로 들어가는 방향의 벡터(⊗) (b) 지면으로부터 나오는 방향의 벡터(⊙)

한 벡터를 부호 a 를 사용하여 나타낼 때는 a, a→, a~ 등과 같이 표기한다. 또한 a의 크기를 나타낼 때는 |a|, a 등의 방법으로 표기한다.

점 A 에서 점 B 를 향하며, 크기가 두 점 사이를 잇는 선분의 길이인 벡터를 부호를 사용하여 나타낼 때, 대개 AB→ 와 같이 쓴다. 이 벡터를 도식적으로 나타낼 때는, 그림 1과 같이 A 점 에서 출발하여 점 B 를 잇는 화살표로 나타낸다. 즉, 이와 같은 화살표 도식에서는 화살표의 방향과 길이가 해당 벡터의 방향과 크기를 각각 나타낸다. 이때 점 A 를 화살표의 원점, 기점, 꼬리 등으로 부르고, 점 B 를 화살표의 끝, 종점, 머리 등으로 각각 부른다.

3차원 벡터공간에서 지면을 수직으로 들어가는 방향의 벡터와, 지면으로부터 수직으로 나오는 방향의 벡터는 그림 2와 같이 부호 ⊗와 부호 ⊙를 각각 사용해서 표시한다.

벡터의 기본적인 성질

그림3 동등한 백터들.

동등성

벡터가 크기와 방향만을 가지므로 원점의 특정한 위치는 아무런 의미를 갖지 않는다. 즉, 원점이 일치하지 않더라도 두 화살표의 방향이 일치하고 크기가 같으면, 동일한 벡터를 의미한다.

영 벡터

영벡터는 크기가 영인 벡터이다.

음벡터

벡터 a 자신에 더했을 때 결과가 영벡터가 되는 벡터를 a 의 음벡터라고 정의하고 -a 로 표시한다. 즉, 음벡터 -a 는 a 와 크기는 같으나 방향이 정반대인 벡터이다.

음벡터를 먼저 정의함으로써 벡터의 뺄셈은 덧셈의 한 예가 될 뿐이다. 즉,

a - b = a + (-b).

벡터의 좌표와 성분

그림4 벡터의 좌표와 좌표벡터.

그림5. 벡터의 성분.

그림 6. 3차원 직각좌표계의 단위벡터들

벡터를 표현하는 방법으로 공간에 좌표계를 설정하여 좌표값을 사용할 수도 있다. 좌표는 벡터를 대수적으로 다룰 수 있게 하는데, 기하학적으로 벡터를 다루는 방법보다 자주 편리하며, 보다 체계적으로 정확한 계산을 할 수 있다는 장점이 있다.

좌표와 좌표벡터(coordinate vector)

가장 흔한 예는 직각좌표계를 사용하는 것이다. 즉, 한 벡터의 기점을 좌표계의 원점으로 하고 벡터의 종점의 좌표로 해당 벡터를 표시할 수 있다. 이렇게 나타낸 벡터를 좌표벡터(coordinate vector)라고 부른다. 여기서 2차원 직각좌표계는 편의를 우선으로 택한 예일 뿐이며, 아래의 설명은 고차원의 모든 종류의 좌표계에서도 성립한다.

벡터의 성분, 분해, 합성

벡터 성분은 각각의 좌표축에 벡터를 투영시켜 얻는다. 이 또한 벡터이므로 성분벡터(component vector)라고 부른다. 예컨대, 그림 5에서 벡터 aₓ 는 x를 축 방향으로 투영시켜 얻을 수 있는 "벡터 a 의 축 성분벡터"이다. 마찬가지로 는 ay 의 y축 성분벡터이다. 2차원 이상의 공간에서는 차원의 수만큼 성분이 존재하며, 2차원에서와 같은 방법을 확장하여 적용하면 된다.

자연스럽게, 한 벡터는 그 벡터의 성분벡터들을 합성한 합벡터이다 – 벡터의 덧셈에 대해서는 아래에서 설명할 것이다.

a = aₓ + ay

이와 같이 한 벡터를 자신의 성분벡터들의 합으로 나타내는 것을 벡터의 분해라고 한다. 혹은, 한 벡터의 모든 성분벡터들을 합성하여 해당 벡터 자신을 얻을 수 있다.

벡터의 성분벡터는 기저벡터 집합(basis vector)의 선택에 따라 달라지기 때문에, 벡터 분해는 유일하지 않고 기저벡터 집합의 선택에 따라 달라진다.

단위벡터

벡터의 성분 표시를 편리하게 하기 위하여 추가적으로 단위벡터를 도입할 수 있다. 단위벡터는 크기가 1이며 특정한 방향을 갖는 벡터이다. 단위벡터는 벡터의 방향을 나타내기 위할 뿐이기 때문에, 차원과 단위가 없다. 3차원의 직각좌표계 (x, y, z)가 주어질 때, 각 좌표축에 나란한 방향을 갖는 단위벡터를 각각 i^, j^, k^이라고 나타낸다.

여기서 축의 방향은 '오른나사 규칙', 혹은 '오른손 규칙'의 관례를 따라서 정한 것이다. 모든 좌표축에 대한 단위벡터들의 집합 {i^, j^, k^}을 기저벡터 집합(basis, basis vectors)라고 부르는데, 특정한 기저벡터 집합을 선택하는 것은 특정한 직각좌표계를 선택하는 것과 동등하다.

스칼라 배(scalar multiplication)의 정의를 이용하여 벡터 a의 성분벡터들을 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 벡터들과 함께 벡터공간에 연관된 스칼라인 ax, ay, az 를 벡터의 성분(component)이라고 부르는데, 이것이 a 의 좌표값을 이룬다. 이와 같이 좌표값으로 표시한 벡터를 좌표벡터라고 한다.

a = (ax, ay, az)

벡터의 연산

그림7 합벡터 삼각형법.

그림8. 덧셈의 교환법칙.

그림9. 덧셈의 결합법칙.

그림10 합벡터 - 평행사변형법.

그림11 벡터의 성분 합.

벡터들을 결합하는 규칙을 정의할 수 있다.

벡터의 덧셈

기하학적인 방법 1 삼각형법(tail-to-tip method)

공간 상의 위치는 벡터량이다. 따라서 위치의 변화인 변위(displacement)도 벡터량이다. 위치 A 에서 위치 B 로 이동한 후에 다시 위치 C 로 이동하는 운동을 고려해보자. 첫 번째의 변위를 벡터 a, 두 번째의 변위를 벡터 b 라고 하자. 알짜변위는 위치 A 에서 위치 C 로 직접 이동한 것이다. 즉, 그림 7과 같이, 알짜 변위를 벡터 r 이라고 하면, r 은 A 에서 C 로 연결한 화살표로 나타낼 수 있다.

이와 같이 한 벡터 a 에 다른 벡터 b 를 더하는 것을 벡터의 덧셈이라고 하며, 그 결과인 벡터 r 을 a 와 b 의 합벡터라고 부른다.

r = a + b

기하학적으로 덧셈을 구현하는 방법은, 벡터를 평행 이동하여 a 의 머리에 b 의 꼬리를 붙인 후, a 의 꼬리를 기점으로 하여 b 의 머리까지 잇는 벡터 r 을 그리는 것이다. 이를 삼각형법, 혹은 꼬리-머리법(tail-to-tip method)이라고 부른다.

덧셈의 교환법칙

그림 8이 명백하게 보여주듯이, 더하는 두 벡터의 순서가 바뀌어도 결과는 마찬가지이다. 이를 벡터의 덧셈이 교환법칙을 만족시킨다고 말한다.

a + b = b + a

덧셈의 결합법칙

그림 9가 명백하게 보여주듯이, 더하는 벡터들이 두 개 이상인 경우에도, 더하는 순서에 상관없이 결과는 동일하다. 이를 벡터의 덧셈이 결합법칙을 만족시킨다고 말한다.

(a + b) + c = a + (b + c)

기하학적인 방법 2 – 평행사변형법(parallelogram method)

그림 10과 같이, b 를 평행 이동하여 a 와 b 의 꼬리를 일치시킨 후, 두 벡터를 인접한 두 변으로 하는 평행사변형을 그렸을 때, 두 벡터의 꼬리에서 시작하는 평행사변형의 대각선이 a 와 b 의 합벡터에 해당된다. 이것이 삼각형법과 같은 결과를 준다는 사실은 그림을 통해서도 명백하게 입증된다.

성분을 이용한 대수적인 방법

벡터를 성분으로 나타내어 덧셈을 대수적으로 할 수도 있다.

다음의 벡터 덧셈을 고려해보자.

r = a + b

이 식은 양변이 동일한 벡터라는 사실을 말하고 있다. 두 벡터가 동일하다면 대응하는 벡터의 성분이 반드시 같아야 한다. 따라서,

rx = ax + bx,,,

ry = ay + bu,

혹은

rx = ax + bx,

ry = ay + by,

즉, 합벡터의 각 성분은 두 벡터 a 와 b 의 성분을 각각 더해서 구한 것과 같다. 그림 11은 성분 합을 이용한 벡터의 덧셈이 삼각형법과 동일한 결과를 준다는 것을 명백하게 보여준다.

벡터의 뺄셈

그림12 벡터의 뺄셈 (a)r=a-b=a+(-b) (b)a=b+r

그림13 벡터의 스칼라곱.

그림14 벡터곱의 방향.

자기 자신과 크기는 같고 방향이 정반대인 음벡터의 정의를 이용하면, 벡터의 뺄셈은 덧셈의 한 예가 될 뿐이다. 즉, a - b = a + (-b)

그림 12(a)는 음벡터를 더한 결과로서 벡터 r = a - b 를 보여준다.

한편, 식 r = a - b 의 양쪽에 b 를 더한 후 결합법칙과 교환법칙을 적용하여 연산의 순서를 정리하면 식 a = b + r 을 얻을 수 있다. 즉, 그림 12(b)가 보여주듯이, a 가 삼각형법에 의한 b 와 r 의 합이라는 점을 고려하면, r 은 b 의 머리와 a 의 머리를 잇는 벡터라야 한다. 이로부터, a - b 는 ‘b 를 기준으로 한 a' 의 상대적인 양’으로 해석하는 것도 가능하다. 상대속도의 개념이 좋은 예가 될 수 있다.

벡터의 곱셈

스칼라배(scalar multiplication)

벡터에 스칼라가 곱해지는 경우이다. 벡터들의 곱인 스칼라곱(scalalr product)과는 구별이 되어야 한다. 벡터 a 에 스칼라 s 를 곱하면 새로운 벡터 a´ 을 얻을 수 있다. 의 크기는 a´ 의 크기에 a 의 절대값을 곱한 값이다. a´ 의 방향은 s 가 양일 때는 a 의 방향과 같고, s 가 음일 때는 a 와 정반대 방향이다. 벡터를 s 로 나누는 것은, 벡터에 스칼라 1/s 를 곱하는 것과 같다.

벡터에 벡터를 곱하는 방법에는 두 가지가 있다.

• 스칼라곱

두 벡터 a 와 b 의 스칼라곱은 스칼라이며, a ∙ b 로 표기하며 다음과 같이 정의한다.

a ∙ b = ab cosφ

여기서 φ는 벡터 a 와 b 의 사이각이다. 360 - φ도 사이각이지만 코사인 값이 같으므로 어느 것을 취하건 스칼라곱의 값은 같다. 스칼라곱을 간혹 점곱(dot product), 혹은 내적(inner product)으로 부르기도 한다.

스칼라곱은 한 벡터의 크기에 그 벡터에 투영된 다른 벡터의 크기를 곱한 양으로 간주하기도 한다. 이를 강조하기 위해 다음과 같이 다시 표기할 수 있다.

a ∙ b = (a cosφ)b = a(b cos φ)

정의로부터 스칼라곱은 교환법칙을 만족함을 알 수 있다.

a ∙ b = b ∙ a

직각좌표계에서 단위벡터들은 서로 수직하므로, 서로 다른 단위벡터들의 스칼라곱은 모두 영이다. 두 벡터를 단위벡터를 사용해서 성분으로 나타내면 다음 식을 얻을 수 있다.

• 벡터곱

두 벡터 a 와 b 의 벡터곱은 벡터이며, a × b 로 표기한다. 벡터곱의 결과벡터 r 의 크기는 다음과 같다.

r = ab sinφ

여기서 φ는 벡터 a' 와 b 의 사이각이다. 360- φ도 사이각이지만, 스칼라곱의 경우와 달리 벡터곱의 정의에서는 사인값을 취하므로 부호가 달라진다. 따라서 사이각은 항상 108도이하의 값을 택하도록 약속되어있다. 벡터곱을 간혹 가위곱(cross product), 혹은 외적(outer product)으로 부르기도 한다. r 의 방향은 두 벡터 a 와 b 가 이루는 평면에 수직이다. 평면에 수직인 방향은 두 방향이 있는데, 오른손 규칙에 의해 그 중 한 방향으로 결정한다. 즉, 두 벡터 a 와 b 의 꼬리를 붙인 후, a 에서 b' 의 방향으로 오른손 네 손가락을 안쪽으로 감아쥘 때, 곧게 편 엄지가 가리키는 방향이 바로 r 의 방향이다.

스칼라곱과 달리 벡터곱에서는 벡터를 곱하는 순서가 중요하다. 즉, 그림 14가 암시하듯이, 두 벡터의 순서가 바뀌면 벡터곱의 부호가 반대가 된다.

a × b = -b × a

결과적으로, 벡터곱은 교환법칙을 만족시키지 않는다.

직각좌표계에서 단위벡터들은 서로 수직하므로, 서로 다른 단위벡터들의 벡터곱은 크기가 1이고 나머지 단위벡터에 나란한 방향이다. 벡터곱과 좌표축의 양의 방향들이 모두 오른손 규칙을 따르므로, {i^, j^, k^}를 순환적인 순서로 벡터곱을 취하면 벡터곱의 결과가 다음과 같이 정리되는 것을 알 수 있다.

자기 자신과의 벡터곱은 사이각이 영이므로 모두 영이다.

위의 성질들을 이용하면 두 벡터의 벡터곱을 성분을 사용해서 다음 식으로 나타낼 수 있다.

기타

• 벡터는 분자생물학에서 유전 물질의 운반자이다.
• 벡터는 의학에서 병균의 매개 동물이다.
• 컴퓨터에서 벡터는 화상의 표현 요소로서의 방향을 지닌 선. 선그림.
• 컴퓨터에서 벡터는 또한 동적 배열 자료구조를 뜻하기도 한다.

• 동적 배열의 일종인 벡터는 표준 템플릿 라이브러리의 자료형이다.

• 인공 지능의 기계 학습 분야

• 벡터는 기계 학습 분야에서 입력 데이터를 표시하는 방법이다.

참고자료

• 〈벡터〉, 《물리학백과》

같이 보기

• 벡터장
• 스칼라
• 텐서
• 크기
• 방향

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