산술평균

산술평균(算術平均, arithmetic mean)은 수학과 통계학에서 주어진 수의 합을 수의 개수로 나눈 값이다.

개요

산술평균은 수학과 통계학뿐 아니라, 경제학, 인류학, 역사학 등의 많은 분야에서 빈번하게 사용된다. 일상생활에서 "평균"은 산술평균을 의미한다. 즉, 측정치를 모두 합한 다음 그 합한 수로 나눈 값을 말한다. 몇 가지 항목의 수치를 합계한 값을 그 항목수로 나눈 것이다. 통계적으로는 각 항목의 중요도를 곁들인 것(가중치를 곱한다고 함)을 가중산술평균이라고 하며 그것이 없는 단순산술평균과 구별한다. 계산이 간단하므로 물가지수 등의 작성에 사용되고 있으나 극단적인 수치의 항목에 영향을 받기 쉬운 결점이 있다. 또한, 산술평균은 주어진 자료가 어떤 값을 중심으로 분포되어 있는가를 나타내고자 할 때 대푯값으로 쓰이는 통계량 중의 하나로 n개의 점수들을 합하여 n으로 나눈 값이다. 평균에는 산술평균 이외에도 기하평균과 조화평균이 있다. 일반적으로 평균이라 할 때는 산술평균을 의미한다. 산술평균은 자료 내의 극단적인 값에 민감하여 극단 값이 많을수록 자료에 대한 대표성을 상실할 수가 있다.

산술평균의 정의

산술평균의 정의

산술평균의 특징

n개의 수가 있을 때 이들의 합을 개수로 나눈 것이며 계산상 가장 간단한 방법으로 변수의 총합을 그 항의 개수로 나눈 값을 말한다. n개의 수 x1,x2,x3,.....xn 있을 때 이들의 합을 개수로 나눈 것을 의미한다. 즉 (x1+x2+x3+....+xn)/n을 말하며 이를 말한다. 평균에는 기하평균 조화평균도 존재하며 특히 x1,x2,x3,,,,xn이 모두 양수일 때는 이들의 산술평균은 기하평균보다 작지 않다는 것이 알려져 있다.

산술평균의 공식

산술평균으로부터 편차 합은 0이며 이는 추상적인 대푯값으로서 계산상의 편리함으로 많이 사용되지만, 극단적인 값의 영향을 많이 받는다. 편차의 제곱 합은 다른 어떤 수에 대한 편차 제곱 합보다 크지 않다 즉 편차의 자승 합을 최소로 하는 알파의 값이다. 관찰치의 분포가 완전 대칭이 될 때는 중위수도 산술평균의 값은 같아진다. 중위수를 계산할 수 있는데 자료의 수가 홀수이면 (n+1)/2 번째가 중위수이며 자료의 수가 짝수이면 n/2번째 값과 1+(n/2) 번째의 값의 평균이 중위수이다.

산술평균과 기하평균 및 조화평균의 공식

산술평균의 사용 예

일반적으로 산술평균은 일정하게 변한 량의 평균을 계산하는데 쓰이기보다는 (이때는 기하 평균을 사용한다), 여러 값들이 어느 값에 치우쳐져 있는지, 즉 집중경향값(集中傾向, central tendency)을 계산하기 위해 사용된다. 예를 들어, 일인당 총 소득은 사람 한 명당 총소득을 전부 더한 값을 사람 명 수로 나눈다. 또 다른 예로, 수 5, 19, 38, 42, 64, 81들의 평균 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

산술평균의 사용 예1 공식

그러나 일반적으로, 만약 수에 매우 크거나 매우 작은 값이 있다면 산술평균 값이 매우 큰 영향을 받는다. 아까와 같지만, 숫자 하나를 더 추가해서 이번에는 수 5, 19, 38, 42, 64, 81, 1240983들의 평균을 계산해 보면, 다음과 같다.

산술평균의 사용 예2 공식

산술평균 값에서 숫자가 겨우 하나 늘어났음에도 불구하고 수의 크기에 영향을 받아 값이 이전과는 많이 다른 것을 알 수 있다.

실생활 활용 사례

실생활에서 평균이라고 말하면 보통 산술평균을 의미한다. 200만 원의 월급을 받는 사람이 5명이고 2000만 원의 월급을 받는 사람이 1명이라고 할 때 산술평균 x을 구한다.

실생활 활용 사례 공식

그 결과 위에 실생활 활용 사례 공식에서와 같이 산술평균은 500만 원으로 계산되었다. 이것은 통계적으로 사람 1인당 500만 원의 월급을 받는다는 의미이다. 만일 다른 집단의 평균이 250만 원일 경우, 이 집단의 평균값 500만 원은 아주 큰 수치이다. 이를 근거로 이 집단의 올해 임금 인상을 동결한다고 하면 매우 억울할 것이다. 왜냐면 6명 중 5명은 단지 200만 원을 받을 뿐인데 한 사람이 받는 고액 월급 때문에 평균값이 높게 나왔기 때문이다. 이러한 경우 한 사람이 받는 2000만 원의 숫자가 극단치에 해당한다. 또한, 이런 경우가 산술평균을 집단의 대표 값으로 사용하기에 부적당한 하나의 사례에 해당한다. 따라서 산술 평균을 대할 때에는 극단치가 포함되어 있는지의 여부를 알아보는 것이 중요하다.

산술평균 계산기

산술평균 계산기에서 평균을 계산할 수를 직접 입력하거나 붙여 넣기 하면 산술평균이 자동 계산된다. 평균이 나누어 떨어지는 수가 아닌 경우 소수점 셋째 자리에서 반올림된 값이 표시된다.

평균 계산기 설명

자료값의 총합을 자료 값으로 나눈 산술평균 계산기이다. 예를 들어, '1, 3, 5, 7, 9'의 평균을 계산한다면 자료 값 입력 칸에 각 수를 콤마로 분리하여 1, 3, 5, 7, 9 로 입력하거나 띄어쓰기로 분리하여 1 3 5 7 9 와 같이 입력하면 자료 값에 마이너스 수치가 있는 경우에는 －(마이너스 기호)를 앞에 붙이면 된다. 예: 1 -3 5 –7 9. 계산 결과는 입력한 자료 값의 총합과 자료의 개수 그리고 평균으로 분리하여 표시됩니다. 계산된 평균 값은 소수점 셋째 자리에서 반올림된 값이다.

기하평균⸱산술평균⸱조화평균의 차이

• 기하평균은 산술평균은 합의 평균이고, 기하평균은 곱의 평균이다. 예를 들어 첫번째 해에는 5%, 두 번째 해에는 10% 증가했다. 연평균 증가율 r로 2년 연속 증가한 값과, 5%, 10% 로 두 번 증가한 값이 같아야 한다. 이 예제를 일반화하면, 두 수 a, b의 기하평균이다. 곱의 평균을 기하 평균이라고 부르는 이유는, 기하의 비례식에서 유래하였기 때문인데, 예를 들어, 반원에서 직각 삼각형의 닮음식은 a : p = p : b이고, 여기서 p 가 a, b의 기하평균이다. 또다른 예로, 변의 길이가 a와 b인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한변의 길이는 a, b의 기하평균이다.
• 산술평균(算術平均, arithmetic mean)은 우리가 알고 있는 평균이다. 값을 모두 더하고, 기준이 되는 것의 개수로 나눈다. 예를 들어 두 수 a, b의 산술 평균은 이다.
• 조화평균(調和平均, harmonic mean)은 '역수의 산술평균의 역수'이다. 역수의 차원에서 평균을 구하고, 다시 역수를 취해 원래 차원의 값으로 돌아오는 것이다. 예를 들어 갈 때 10m/s, 올때 20m/s로 주행하였다. 10과 20의 산술평균인 15는 답이 아니다. 갈 때와 올 때 투여한 시간이 다르기 때문이다. 여기서는 시간의 차원에서 평균을 구해야 한다. 거리를 속력으로 나누면(역수), 시간인데, 이 시간의 평균을 구한 후에, 구한 시간 값에 대해, 다시 속력으로 바꾼 것이 평균 속력이다. 거리를 S라 하고, 시간에 대해 식을 세우면, S/10 + S/20 =2S/x이다. 이 예제를 일반화하여, 갈 때 속력을 a, 올 때 속력을 b라 하여 정리하면, 조화평균은 x = 2ab/a+b이다. 역수의 평균의 역수를 조화평균(harmonic mean)이라고 부르는 이유는, 음악의 화음(harmony)에서 이 평균을 찾을 수 있기 때문이다. 화음은 주파수가 1:2:3과 같이 간단한 정수 간격을 이룰 때 발생하는데, 현의 길이는 주파수의 역수이다. 즉 화음을 이루는 현의 길이를 구하기 위해서는, 역수(주파수)의 평균을 구하고, 다시 그 값의 역수(현의 길이)로 되돌아온다.

참고자료

• 〈산술평균〉, 《위키백과》
• 〈산술평균〉, 《네이버 국어사전》
• 〈산술평균〉, 《용어해설》
• 〈산술평균〉, 《교육평가용어사전》
• 〈산술평균〉, 《컴퓨터인터넷IT용어대사전》
• 〈산술평균〉, 《두산백과》
• 〈산술평균(arithmetic mean)〉, 《과학문화포털 사이언스올》
• 〈평균 계산기: 입력하면 바로 계산되는 산술평균 계산기〉, OurCalc
• 〈수학 용어를 알면 개념이 보인다 - 081. 산술평균 vs 기하평균 vs 조화평균〉, 《위키독스》
• 호구아재, 〈산술평균이란?〉, 《네이버 블로그》, 2017-03-27
• BallPen, 〈평균 – 산술, 기하, 조화 평균의 개념과 실생활 활용〉, 《알럽마에》, 2021-07-05

같이 보기

• 평균
• 수학
• 통계학
• 조화평균
• 기하평균

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