논리주의자(論理主義者)는 직관주의(直觀主義), 형식주의(形式主義)와 함께 1920∼1930년대에 수학 기초이론의 세 가지 대표적인 견해 중 논쟁의 중심이 되었던 한 입장인 논리주의를 따르거나 주장하는 사람을 말한다.
논리주의자가 따르거나 주장하는 논리주의는 영국의 버트런드 러셀(Bertrand Arthur William Russell)이 그 대표이다. 일찍부터 G.프레게, G.페아노에 의해서 논리학도 포함한 수학 전체의 기호화(記號化)가 가능하다는 사실이 제시되었다. 프레게의 저술이 러셀에 의해서 재발견되지 않았더라면 이와 같은 생각은 햇빛을 보지 못할 상태에 있었다.
러셀은 그의 저서 《수학원리: Principia Mathematica》에서 집합론을 포함한 수학의 범위를 완전히 기호논리로서 형성하였다. 그 때 무한집합 존재의 공리(公理), 집합론에서의 선출원리(選出原理), 러셀이 창안한 환원(還元)의 공리는 프린키피아 이후에 해결되지 않은 문제를 남기게 되었다.
특히, 환원의 공리는 러셀이 제창한 논리형(論理型)의 이론에 기저를 둔다. 예를 들면, 실수(實數)를 제0형이라고 하면 실수의 집합, 실수의 집합의 집합 등은 각기 제1형 ·제2형 등에 속한다고 하였다. 이와 같이 논리학에서의 여러 개념의 기본이 되는 카테고리를 제0형으로 하여 자연수의 형(型)으로 분류해서, 유한형(有限型)이 부여된 개념을 다루는 이론계(理論系)를 단순형(單純型)의 이론이라고 한다. 이를테면, 어떤 실수를 정의함에 있어 실수의 전체, 실수의 집합 전체 등, 이보다 더 높은 형의 개념 전체를 필요로 하는 경우가 있다. 그래서 제n형의 개념을 정의함에 있어 제n+m형의 개념 전체를 사용했을 때 그 개념을 제n형 제m＋1위(位)의 개념이라고 부른다. 개념형 외에 개념위(槪念位)도 고려한 이론계를 분기형(分岐型)의 이론이라고 한다. 러셀의 환원의 공리는 분기형의 실수론에 있어 제m위(m≥1)의 실수는 제0위의 실수(실수의 전체를 사용하지 않고 정의되는 실수) 속에 존재한다는 것을 공리로서 인정하려고 하는 제안이다. 분기형의 실수론은 보통 수학에서 말하는 실수론과는 형태가 다른 것으로, 실수론이 분기(分岐)되어 있는 상태로는 수학에서의 실수론을 표현하는 것이라고는 말할 수 없으나, 환원의 공리에 의해서 일단 분기된 실수론을 분기하지 않는 실수론으로 되돌릴 수가 있다. 이 과정을 더듬어 실수론을 구성하는 것은 러셀의 역리(逆理) 등의 모순을 피하기 위해서인데, 환원의 공리 그 자체는 공리로서 매우 이해하기 힘든 것이기 때문에 여러 가지 논란이 있다.
위에서 말한 예에서도 알 수 있듯이 논리주의는 논리적 고찰에 의해서 논리학과 수학의 원리를 분석해서 하나의 단정을 부여하려는 입장이다. 그래서 러셀은 논리와 수학은 같은 것이라고 주장하였다.[1]
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