이유 불충분의 원리

이유 불충분의 원리(Principle of Indifference)는 무관심의 원칙이라고도 불리며, 다른 사건보다는 하나의 사건을 기대할 만한 어떤 이유가 없는 경우에는 가능한 모든 사건에도 동일한 확률을 할당해야 한다는 원칙이다. 무관심의 원칙은 관련 증거가 없는 경우 에이전트는 고려 중인 가능한 모든 결과에서 자신의 신빙성(또는 '믿음의 정도')을 동등하게 분배해야 한다고 명시한다. 베이지안 확률에서는 이것은 이전의 가장 단순한 비논리적인 것이다.

개요

이유 불충분의 원리는 무관심의 원칙이라고도 불리며, 다른 사건보다는 하나의 사건을 기대할 만한 어떤 이유가 없는 경우에는 가능한 모든 사건에도 동일한 확률을 할당해야 한다는 원칙이다. 무관심의 원칙은 관련 증거가 없는 경우 대리인은 고려 중인 가능한 모든 결과에서 자신의 신빙성(또는 '믿음의 정도')을 동등하게 분배해야 한다고 명시한다. 베이지안 확률에서는 이것은 이전의 가장 단순한 비논리적인 것이다.베이시안 인식론은 종종 이성적 작용의 인식 상태를 정밀하게 정량화된 수치 '신념의 법칙' 또는 '신념'의 관점에서 구상해야 하는 핵심 제약조건에 의해 특징지어진다. 합리적인 에이전트의 신빙성은 항상 확률론적이어야 하고, 새로운 증거를 알게 된 이성적 에이전트들은 베이지안 조건화를 통해 그들의 신빙성을 갱신해야 한다. 그러나 이러한 규범만으로는 합리적인 에이전트에 대해 보편적으로 적용할 수 있는 인식론적 전략을 정의하기에 충분하지 않다. 이 문제에 대한 가장 잘 알려진 해결책은 이유 불충분의 원리이다.

이유 불충분의 원리로 무장한 베이지안은 이제 새로운 증거 앞에서 자신의 신빙성을 수정하는 방법뿐만 아니라 모든 증거가 없을 때 어떤 신빙성을 채택해야 하는지에 대해 에이전트에게 지시하는 완전한 합리성 레시피를 접할 수 있다. 그리고 물론, 이유 불충분의 원리는 매우 직관적이고 그럴듯한 원리로서 많은 독립적인 정당성을 가지고 있다.

• 이유 불충분의 원리 : ${\mbox{Let }}X={x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$은(는) 가능한 월드의 W 설정의 분할 영역이며 상호 배타적이고 공동으로 완전한 가능성을 갖는다. 파티션의 어떤 셀이 참인지와 관련된 관련 증거가 없는 경우, 합리적인 에이전트는 각 셀에 ${\frac {1}{n}}$의 동등한 초기 신빙성을 부여해야 한다.

특징

원리

이유 불충분의 원리는 다른 정보가 없을 때 가능한 결과에 동일한 확률 을 할당하는 규칙이다. 하나의 가능성이 다른 가능성보다 더 가능성이 높다는 데이터가 없다면 잠재적 결과는 가능한 가장 논리적이고 상호 배타적 인 선택으로 축소되고 나머지 일반 결과는 발생 가능성을 결정하기 위해 단순히 ${\frac {1}{n}}$로 나눈다. 이 무관심의 원칙은 빈도보다는 신뢰의 정도를 나타 내기 때문에 빈번한 확률에 사용되지 않는다. 그러나 베이지안 확률에서 ,이 접근법은 다른 주관적인 사전 가정이 무엇인지에 대한 이용 가능한 다른 데이터와 의견이 없을 때 정보가없는 사전(객관적인 추론)으로 사용되기도한다.

베이지안 이론

베이지안 이론은 베이즈 법칙(Bayesian Law) 또는 베이즈 이론(Bayesian Theory)이라고도한다. 간단히 말하자면 사전확률 p(A)과 우도확률 p(B|A)를 안다면 사후확률 p(A|B)를 알 수있다는 것이다. 사후확률 분포는 사건 발생후 그 사건의 원인이 발생 할 수 있는 사건이 무엇인지 추정하여 그 가능성을 나타내는 변수의 분포를 의미한다. 사전확률 분포는 사건발생 전 사건의 원인이 될 수 있는 사건들에 대한 분포를 말한다. 예를 들자면, 어떤 청바지가 적재되는 청바지 창고가 있다. 사장이 와서 이 창고의 청바지 하나를 골라서 살펴보았는데 이 청바지 불량이었다. 그런데 이 창고의 청바지는 구미 , 청주, 대구 3군데 공장에서 생산되어서 운송되어져 온다. 그렇다면 이 불량 청바지는 어떤 공장에서 생산된 것일까? 이미 사건이 일어났고(창고의 불량 청바지), 사건발생의 원인에 대한 확률(사후확률, 이 창고의 불량 청바지는 어떤 공장에서 불량생산되어 온것일까?)을 사건발생전에 이미 알고 있는 정보(사전확률, 구미, 청주, 대구 공장의 불량률)을 이용하여 구하는 것이라 한다. 수식을 통해 보면 다음과 같다.

$P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i}andB)}{P(B)}}$

결과 창고에서 불량 청바지가 발견한 B를 발생시키는 원인들이 구미공장 불량 A1, 청주공장불량 A2, 대구공장불량 A3라 한다.

베이지안 확률

동전을 1000회 던졌을 때, 앞면이 나오는 횟수는 대략 500회 로 기대할수있다. 확률 계산은 ${p(x)}={occurence(x) \over N}$ 이렇게 표현한다. 일어난횟수/전체시도횟수 이다. 이런 확률론을 경험 확률 이라고 한다. 일정한 확률로 반복시행이 충분히 가능한 많은 경우가 이에 해당된다. 그러면, A라는 도시에서 철수라는 아이가 태어났는데 이 아이가 노벨상을 받을 확률은 얼마나 될까? 이 확률을 빈도확률로 이야기 하기 위해서는 이 아이를 여러번 살게 시키고 그중에 몇 번 노벨상을 받았는가를 평가 해야 한다. 또는 이와 동일한 아이가 전세계에 몇명이 있는지 파악하고, 몇명이 커서 노벨상을 받았는가를 평가해야 하는데, 동일한 유전자, 동일한 환경에서 자란 아이란 있을 수 없음으로 불가능 하다 하겠다. 이런경우, 베이지안 확률론으로 이야기 해야 되는데, 이것은 일어나지 않은 일에 대한 확률을 불확실성의 개념으로 이야기 해야 한다. 즉, 이 사건과 관련있는 어려가지 확률을 이용하여 새롭게 일어날수있는 사건에 대한 추정 을 하는것이라 하겠다.

문제점

많은 상황에서 결과를 정확하게 예측하기위한 모델로서 덜 유용하게 만드는 무차별 규칙에는 두 가지 주요 제한 사항이 있다. 첫째, 무관심은 최종 결과를 계산하는 데 사용되는 방법보다는 상호 배타적인 광범위한 결과만을 설명한다. 이 분할 문제는 다변량 분석에서 특히 문제가된다. 하나의 임의 변수가 다른 변수에 미치는 영향을 무시하면 종종 불가능하거나 불가능한 결과를 초래하기 때문이다. 둘째, 진정으로 랜덤하고 독립적인 이항변수를 다룰 때도 무차별 원칙의 대칭가정은 확률을 너무 단순화하여 종종 실제 결과를 예측하지 않고 충돌 가능성을 생성 할 수 있다. 예를 들어, 6면 주사위에서 '6'을 굴릴 확률을 선택하면 모든 빈도수 및 대부분의 베이지안 이전 확률 은 6 개의 가능한 결과를 가정하며 16.66%의 "6"을 굴릴 확률이 있다. 그러나 이유 불충분의 원리를 사용하는 사전 확률은 문제를 단지 '6'의 구르는 것과 그렇지 않은 것의 두 가지 결과로 단순화할 것이며, 이것은 확률을 50%의 훨씬 덜 정확한 포식률로 만든다.

예시

이유 불충분의 원리 적용을 위한 교과서적인 예로는 동전, 주사위, 카드 등이 있다. 거시적 시스템에서는 적어도 시스템을 지배하는 물리적 법칙이 결과를 예측할 수 있을 정도로 잘 알려져 있지 않다고 가정해야 한다. 충분한 시간과 자원을 감안할 때, 적절한 정밀 측정을 할 수 없다고 가정할 근본적인 이유는 없으며, 이것은 높은 정확도로 동전, 주사위, 카드의 결과를 예측할 수 있게 할 것이다. 동전 던지기 기계로 한 페르시 디아코니스(Persi Diaconis)의 작품이 이를 보여주는 실제적인 사례다.

• 동전

대칭 동전은 임의로 머리와 꼬리표를 붙인 두 개의 면을 가지고 있다. 동전이 한쪽 또는 다른 쪽에 착륙해야 한다고 가정할 때, 동전 던지기 결과는 상호 배타적이고, 완전하며, 상호 교환이 가능하다. 무관심의 원칙에 따라, 우리는 각각의 가능한 결과를 50% 확률로 할당한다. 이 분석에서 동전에 작용하는 힘은 정확하게 알려져 있지 않습니다. 만약 동전이 발사될 때 전달되는 추진력이 충분히 정확하게 알려지면, 동전의 비행은 역학의 법칙에 따라 예측될 수 있을 것이다. 따라서 동전 던지기 결과의 불확실성은 초기 조건에 관한 불확실성에서 도출된다(대부분의 경우).

• 주사위

대칭 주사위에는 1에서 n까지 임의로 라벨을 붙인 n개의 면이 있다. 일반적인 입체 주사위에는 n = 6개의 면이 있지만, 다른 수의 얼굴을 가진 대칭 주사위를 구성할 수 있다. 우리는 주사위가 한 면이나 다른 면에 착륙할 것이고, 다른 가능한 결과는 없을 것이라고 가정한다. 이유 불충분의 원리를 적용하여, 우리는 가능한 결과에 각각 ${\frac {1}{n}}$의 확률을 할당한다. 동전과 마찬가지로 주사위를 던지는 초기 조건은 역학의 법칙에 따라 결과를 예측하기에 충분할 정도로 정밀하게 알려져 있지 않은 것으로 추측된다. 주사위는 일반적으로 테이블이나 다른 표면에서 튕기도록 던져진다. 이러한 상호작용은 결과의 예측을 훨씬 더 어렵게 만든다. 대칭에 대한 그의 가정은 여기서 중요하다. 우리가 결과 '6'에 대해 내기를 걸거나 반대하도록 요청받았다고 가정해보자. 여기에 '6' 또는 "6이 아님" 두 가지 관련 결과가 있으며, 상호 배타적이고 완전하다고 생각할 수 있다. 이것은 두 결과 각각에 확률 50%을 할당하는 것을 제안한다.

• 카드

표준 책상에는 52개의 카드가 들어 있으며, 각 카드에는 임의로 주문하는 방식으로 고유한 라벨이 지정되어 있다. 우리는 갑판에서 카드를 뽑는다. 이유 불충분의 원리를 적용하여 각각의 가능한 결과를 ${\frac {1}{52}}$ 확률로 할당한다. 이 사례는 다른 사례들보다 실제 상황에서 이유 불충분의 원리를 실제로 적용하기가 어렵다는 것을 보여준다. 우리가 정말로 의미하는 것은 "임의로 주문한"이라는 문구는 우리가 특정 카드를 선호하게 할 만한 정보가 전혀 없다는 것이다. 실제로는 드물게 발생한다. 새로운 카드 덱은 임의의 순서가 아니며, 카드 한 장 바로 뒤에는 덱이 아니다. 이것은 우리가 가지고있는 정보를 파괴하는 것이 아니라, 원칙적으로 여전히 유용하지만 우리의 정보를 실질적으로 사용할 수 없게 만드는 것이다. 실제로 일부 전문가 블랙잭 플레이어는 갑판을 통해 에이스를 추적할 수 있는데, 이들에게 이유 불충만의 원리를 적용할 수 있는 조건이 충족되지 않는다.

참고자료

• 무관심의 원칙 위키백과 - https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference
• 벤자민, 에바,〈무관심의 원칙〉, 《필스치아카이브》, 2019-04-30
• 이유 불충분의 원리 딥에이아이 - https://deepai.org/machine-learning-glossary-and-terms/principle-of-indifference
• 단창,〈베이지안 이론 (Bayesian Theroy) 이란?〉, 《티스토리》, 2014-09-10

같이 보기

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