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논리연산자
논리 연산(logical operation, logical connective) 혹은 불 연산(boolean operation)은 진리값으로 불리는 참, 거짓 두 가지 원소만 존재하는 집합(환으로 불림)에서의 연산이다. 논리합(OR, ∨), 논리곱(AND, ∧), 부정(NOT, ~/¬), 배타적 논리합(XOR, ⊕), 명제, 동치 등이 있다. 수학의 논리학이나 프로그래밍 언어에서 사용한다. 프로그래밍 언어에서는 비트연산이라고도 한다.
개요
논리식을 구성하는 요소이며 부정이나 논리곱, 논리합 등을 들 수 있다. 즉, 하나 또는 그 이상의 오퍼랜드에 적용되는 논리 기능을 갖는 단어나 기호. 부정이라 부르는 단항 연산에서는 오퍼랜드의 앞에 오지만 2항 연산에서는 오퍼랜드 중간에 온다.
[1]
등장배경/역사
불 대수(Boolean algebra)는 19세기 중반 영국의 수학자 조지 불(George Boole, 1815년 11월 2일 ~ 1864년 12월 8일)이 고안하고 형식화한 대수 체계를 의미한다.[2]
논리 연산(logical operation, logical connective)으로도 불린다. 수리 논리학이나 컴퓨터공학과에서, 두 개의 상태인 참(1, T, True)과 거짓(0, F, False)으로 불 연산(Boolean expression)이라 한다. 불 대수의 출현 이후로 논리학은 기호논리학의 성향이 강해지기 시작한다.
프로그래밍에서는 조건에 의한 분기나 반복을 만드는 데 이용되고, 디지털 논리 회로를 배울 때 유용하게 사용된다. 디지털 회로의 신호는 0과 1로만 구성되어 있기 때문이다. 전자계통에선 논리 연산을 하는 소자를 게이트(Gate)라고 하며 트랜지스터 여러 개를 조합해서 만들 수 있다.
이산수학에서는 속(Lattice) 중 Complementary Lattice이며 Distributive Lattice인 Lattice를 불 속(Boolean Lattice)이라 하며 이를 대수(Algebra)식으로 나타낸 것을 불 대수(Boolean Algebra)라고 한다. 불 속의 원소 개수는 해당 원자(atom) 개수 n에 대해 2n개이다. 즉, 불 속의 원소 개수는 2의 제곱수대로 올라간다고 보면 된다.
특징
종류
논리합(OR; ||)
두 명제 중 어느 한 명제만 참이어도 참값을 돌려준다.[2] C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 |를 논리합 연산자로 사용한다. 불 대수에서는 OR는 덧셈과 동치여서, 논리합(Boolean Addition)으로 부른다. 아래에서 보듯 1 + 1 = 1 임을 주의해야 한다. A+B로 표시한다.
OR 연산자는 두 개의 수직선 기호로 만들 수 있다.[3]
전통적인 프로그래밍에서 OR 연산자는 불린값을 조작하는 데 쓰인다. 인수 중 하나라도 true이면 true를 반환하고, 그렇지 않으면 false를 반환합니다.
AND 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 1 0, 1 1 1, 0 1 1, 1 1
논리곱 (AND; &&)
두 명제가 모두 참이어야 참값을 돌려준다.[2] C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 &를 논리곱 연산자로 사용하며, 불 대수에서는 AND는 곱셈과 동치이다. 불 곱(Boolean Multiplication) 혹은 논리곱이라 부른다. 아래의 연산결과를 보면 왜 곱셈과 동치인지 쉽게 알 수 있을 것이다. AB 또는 A·B로 표시한다.
두 개의 앰퍼샌드를 연달아 쓰면 AND 연산자 &&를 만들 수 있다.[3]
전통적인 프로그래밍에서 AND 연산자는 두 피연산자가 모두가 참일 때 true를 반환한다. 그 외의 경우는 false를 반환한다.
AND 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 0 0, 1 0 1, 0 0 1, 1 1
부정 (NOT; !)
말 그대로 부정(否定)이다.[2] 즉, 참과 거짓을 뒤집는다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 !를 부정 연산자로 사용하며, 그 외에 ~A도 많은 프로그래밍 언어에서 사용되며, 필기나 서적 등에서는 A' 또는 A 위에 ㅡ를 그려넣은 기호가 주로 쓰인다. 불 보수(Boolean Complement)로도 불린다. 이 연산을 하는 회로는 따로 보수기(inverter)라는 이름으로 불린다.
논리 연산자 NOT은 느낌표 !를 써서 만들 수 있다.
NOT 연산자는 인수를 하나만 받고, 다음 순서대로 연산을 수행한다.[3]
1. 피연산자를 불린형(true / false)으로 변환한다.
2. 1에서 변환된 값의 역을 반환한다.
NOT 연산 결과 입력값 반환값 0 1 1 0
진리표
A B A and B(A&&B) A or B A xor B !A[4]
true true true true false false true false false true true false false true false true true true false false false false false true
부정 논리곱 (NAND; ↑)
Not AND. 논리곱의 결과값을 부정한 것이다.[2] 즉, 두 명제가 모두 참이면 거짓값을 돌려주고 그 외에는 참값을 돌려준다. 참고로 NAND만을 통해 다른 논리 연산식을 모조리 구현할 수 있기 때문에 현재 사용되는 플래시 메모리들은 대부분이 NAND 회로로 구성되어 있다.
NAND 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 1 0, 1 1 1, 0 1 1, 1 0
부정 논리합 (NOR; ↓)
Not OR. 논리합의 결과값을 부정한 것이다.[2] 즉, 두 명제가 모두 거짓이면 참값을 돌려주고 그 외에는 거짓값을 돌려준다. NAND와 마찬가지로 NOR만으로 다른 논리 연산식을 모조리 구현할수 있기에 초기 플래시 메모리들은 대부분이 NOR 회로로 구성하였다. 근데 NAND 회로가 값이 싸다보니 이쪽은 자연스럽게 안 쓰게 됐다.
NAND 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 1 0, 1 0 1, 0 0 1, 1 0
배타적 논리합 (XOR; ⊕)
두 명제 중 정확히 하나만 참이어야, 혹은 두 명제의 참거짓 여부가 다를 때 참값을 돌려준다. A'B+AB'와 동치이다. [2] C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 ^를 배타적 논리합 기호로 사용한다. 다만 일반적인 경우에는 ^가 제곱으로 사용되기 때문에 처음 프로그래밍 언어를 배우는 사람들은 제곱을 하려고 ^ 기호를 사용했다가 안드로메다로 가는 경우가 있다.(…) 이 방식으로 특정 '키'를 이용해 암호화를 하면 그 '키'로 복호화가 가능해서, 암호화 기법으로도 널리 사용된다. 비교 대상의 비트가 0이든 1이든 상관 없이 같기만 하면 0을 돌려준다는 특성을 이용하여 어셈블리어 등의 언어에서 어떤 레지스터나 변수를 0으로 초기화할 때 사용되기도 한다. 이런 특성때문에 XOR을 이용해 임시변수 없이 변수를 스왑하는 기법은 메모리사용량에서야 좀 이득을 보겠지만 실제론 거의 사용되지 않는다. 스왑하는 값이 같은 주소를 참조한다면 엉망이 되기 때문.
결합법칙이 성립하므로 n항연산으로 일반화 가능하다. 이 경우 n개의 입력중 참의 개수가 홀수이면 출력이 참이 되는 연산으로 정의된다.
XOR 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 0 0, 1 1 1, 0 1 1, 1 0
동치 (EQV; =)
두 명제가 다 참이거나 다 거짓이면, 즉 두 명제의 진리값이 같으면 참값을 돌려준다.[2] 배타적 논리합(XOR)의 부정이라고 할 수 있으므로 배타적 부정 논리합 (XNOR) 또는 배타적 논리곱이라고도 한다. 수학적으로는 크로네커 델타()로 정의돼 있다. C언어 및 그 파생 언어에서 '='는 대입(:=)을 의미하므로 동치 연산자를 '=='로 표기한다. (A⊕B)'=(AB)와 동치이다. XOR과 달리 결합법칙이 성립하지 않는다.
EQV 연산 결과 입력값 반환값 0, 0 1 0, 1 0 1, 0 0 1, 1 1
활용
항등원(identity)
군론을 비롯한 대수학에서, 항등원(恒等元, 영어: identity element 또는 neutral element,단위원)이란 임의의 수 a에 대하여 어떤 수를 연산했을 때 처음의 수 a가 되도록 만들어 주는 수를 말한다.[5]
A·1 = A = 1·A A+0 = A = 0+A
교환법칙 / 결합법칙 / 분배법칙
산수와 거의 비슷하다. [2] 다만 여기서 주의할 점은 분배 법칙에서 A+(B·C)=(A+B)·(A+C)가 된다는 것이다. 드모르간의 법칙 하단의 설명을 보면 쉽게 이해할 수 있다. 또한 NXOR을 포함하여 NAND, NOR 등 모든 부정 연산은 결합법칙이 성립하지 않는다.
교환법칙
A+B=B+A A·B=B·A A⊕B = B⊕A
결합법칙
(A+B)+C=A+(B+C) (A·B)C=A·(B·C) (A⊕B)⊕C = A⊕(B⊕C)
분배법칙
A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)·(A+C) A·(B⊕C) = A·B⊕A·C
동일법칙(idempotent)
계산하려는 두 숫자가 똑같으면 결과도 그 똑같은 값이 나온다는 뜻이다. [2] A에 0을 대입했을 때도 성립하고 1을 대입했을 때도 성립하는 것으로 해당 성질을 증명할 수 있다.
A·A = A A+A = A
흡수법칙(absorption)
전기 회로에서 곱연산을 직렬로, 합연산을 병렬로 생각해보면 이해가 쉽다.[2] 아래 식에서 B는 A와 병렬이라서 B가 끊어졌어도 A가 이어져 있으면 그대로 전기가 흐르기 때문에 사실상 B는 없는 것이나 다름없고, A를 직렬로 두 개 단 것과 똑같기 때문에 식이 저렇게 A로 흡수되는 것이다.
A+A·B = A A·(A+B) = A
수학적 증명은
A·(A+B) A·A + A·B (∵분배법칙) A + A·B (∵동일법칙 A·A = A) A·1 + A·B (∵항등원 A·1 = A) A·(1 + B) (∵분배법칙) A·1 (∵ B + 1 = 1) A (∵항등원 A·1 = A)
위 식의 증명은 위의 증명에서 3번째 줄부터 같다.
이중부정 법칙(involution)
이중 부정(二重否定)은 언어학이나 논리학에서 '한 문장이나 문구에서 부정소가 두 번 사용되어 내용적으로 긍정이 되는 부정법'을 가리킨다.[6] 이러한 이중부정의 방법은 한 번 부정한 것을 다시 한번 부정하여 긍정을 나타내는 논리식의 중요한 형식중 하나이다. 기호로는 Double Negation의 약자인 DN 이다
(A')' = A
드모르간 법칙(De Morgan law)
(A·B)'=A'+B' (A+B)'=A'·B'
식을 깔끔하게 정리할 때 가장 많이 사용되는데다가 NAND 연산, NOR 연산과 밀접한 연관이 있는 만큼 불 대수에서 상당히 중요하게 다뤄지는 성질이다. 오죽하면 대부분 교재에서 이 법칙 하나만 불 대수 파트에서 분리해서 따로 가르칠 정도. [2]
사실 머리를 좀 굴려보면 AND와 OR은 같은 구조의 함수지만(항등원끼리 연산하면 항등원, 나머지 경우는 항등원이 아닌 것) AND는 항등원이 1(=0')이고 OR은 항등원이 0(=1')일 뿐이라는 걸 알 수 있는데, 다시 말해 NOT은 ({0 , 1}, AND)에서 ({0, 1}, OR)로 가는 Isomorphism이다. 이중 부정규칙을 이용하면 동시에 NOT은 ({0 , 1}, OR)에서 ({0, 1}, AND)로 가는 Isomorphism이므로 결론적으로 NOT은 ({0 , 1}, AND, OR)에서 ({0, 1}, OR, AND)로 가는(연산이 서로 바뀌었다) Isomorphism이다.
이걸 이용해 드모르간 법칙을 쉽게 증명할 수 있을 뿐만 아니라 성질 항목에 나와있는 한쌍의 공식이 서로를 유도할 수 있다는 걸 쉽게 보일 수 있다.
합의(Consensus) 법칙
AB + BC + CA' = AB + CA' (A + B)(B + C)(C + A') = (A + B)(C + A')
자세히 보면 가운데 마디가 사라진 것을 볼 수 있다. [2]
위 식의 증명은
BC 1·BC (∵항등원 A·1 = A) (A+A')·BC (∵A+A' = 1) ABC + A'BC (∵분배법칙) ABC + CA'B (∵교환법칙)
이것을 이용하여
AB + BC + CA' AB + ABC + CA'B + CA' (AB + AB·C) + (CA'·B + CA') (∵결합법칙) (AB + AB·C) + (CA' + CA'·B) (∵교환법칙) AB + CA' (∵흡수법칙 A+A·B=A)
아래의 식도 비슷하다.
연산 우선 순위
대수학에서 곱셈 연산이 덧셈 연산보다 우선이듯이, 논리 연산에서도 논리곱(AND)이 논리합(OR) 보다 연산 순위가 높다.[2]
분배법칙의 아래 두 식 중에 첫 번째 식의 우변에는 괄호가 없다. 이는 AND가 OR보다 연산 우선 순위가 높기 때문이다. 괄호가 생략된 것이라 보아도 되는데 A·B와 A·C에 대한 괄호의 존재 여부는 우변의 결과에 영향을 미치지 않는다.
A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)·(A+C)
A·(B+C)=(A·B)+(A·C)=A·B+A·C
그리고 부정(NOT) 연산은 AND와 OR보다 연산 우선 순위가 높다.
결국 NOT > AND > OR의 연산 순서가 된다.
각주
참고자료
- 〈네이버 지식백과〉
- 〈나무위키 : 논리연산〉
- 〈js : 논리연산자〉
- 〈TCPSCHOOL : 논리연산자〉
- 〈위키백과 : 항등원〉
- 〈위키백과 : 이중부정〉
같이 보기
