공간

공간(space, 空間)은 어떠한 물질 또는 물체가 존재할 수 있거나 어떠한 일이 발생할 수 있는 장소이다. 사람이나 사물이 차지 하는 장소 또는 인간의 활동이 행해지는 장이나 물체의 운동이 그 속에서 전개되는 넓이를 의미하기도 한다. 물질이 존재하고 여러 가지 현상이 일어나는 장소이다.

개요

공간의 성질에 대한 이해를 시도하는 것은 철학자와 과학자들에게 항상 어려운 숙제였다. 많은 토론의 결과에도 불구하고 공간에 대한 논쟁은 끊임없으며, 명확하고 확실한 정의를 제공하는 것은 어려운 일이다. 공간은 물리학자, 철학자, 수학자, 종교가에 의해 다양하게 다루어지고 공간과 마음 사이의 관계에서도 다양한 관점이 있다. 더불어 다양한 공간의 존재 방식이 있다는 것을 알 수 있다.

공간의 존재 방식

물체와 그 운동

고대 원자론자 : 아무것도 없는 공허한 것이다. 데카르트 : 연장, 넓이가 물체의 본질이기 때문에 물체와 공간은 동일한 것이다.(이러한 생각에서 기하학과 물리학이 동일화된다.) 아리스토텔레스 : 공간은 사물들이 인접하는 경계, 따라서 사물을 받아들이는 용기와 같은 것인 장소의 총화이다. 뉴턴 : 일체의 부분 공간이나 상대 운동이 그것과의 연관에서 규정되는 유일한 기준으로서의 절대 공간이 존재한다. 라이프니츠 : 공간은 물체와 독립하여 존재하지 않고 사물과 사물의 상호 관계의 총체에 지나지 않는다. 칸트 : 공간을 초월론적 주관의 직관 형식으로 하여 뉴턴과 라이프니츠의 생각의 조정을 시도했다.

위의 주장들과 관련하여 공간은 유한한가 무한한가 또 등질, 등방인가 아닌가와 같은 것도 논의가 있었지만, 주목을 끈 것은 고대와 중세에는 이 우주 공간이 지구를 중심으로 하여 항성천에 의해 한계 지어진 유한한 세계고 나아가 달 아래의 세계는 천상의 세계와 질적으로 다르고 무거운 물질이 중심을 향하는 것으로 특징이 지어짐으로써 공간에 방향성이 주어진 데 반해, 근세의 과학의 견해에서는 공간이 등질적이며 무한한 것으로 보았다. 19세기에 확립된 전자장 이론에서는 공간의 이질 이방성이 다시 제기되었고 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서는 이 세계의 유한성이 주목되었다. 더불어 기하학과 물리학의 일체화라는 데카르트적인 생각이 다시 알려지며 재평가 되었다.

인간과 그 활동

인간과 인간의 활동 존재 방식과 관련하여 공간은 생활공간, 도시공간, 환경 공간 등으로서 물체와 그 운동에 관련된 공간과 다르게 정의적 가치와 결부된 의미 공간을 규정된다. 예를 들어서 사람과 사람의 대면 상의 거리는 물질적인 거리에만 멈추지 않고 인간관계의 친소, 사회 신분상의 차이에 따라 변하는 심리적 거리도 반영한다. 지각 심리학이나 문화 인류학의 깨달음과 인간과 동물의 행동 양식은 같고 다름과 같은 정신병리학적 현상 등에 대한 고찰로부터 인간적 공간의 특성이 다양하게 제시되어 왔다.

현상학에서의 공간

현상학에선 공간도 인간의 존재 방식과 상관적으로 다루어지기 때문에 인간적 공간만이 의미 공간인 것이 아닌 물리학적 공간, 수학적 공간도 인간의 의식에 의해 구성된 의미 공간이라고 칭한다. 공간의 의미의 중층적 구조가 분석, 해명되는데 여기선 공간이 지각된다. 그로 인해 행동이 행해지는 구체적 공간과 이념화하는 추상에 의한 극한 개념(점, 선, 면 등)이 설정되어 이것을 기초로 하여 전개되는 이념적 공간이 구별된다. 구체적 공간은 기저층으로 공간적 위상을 기초로 하여 구성되고 이념적 공간은 기호를 매개로 하여 형식화하는 조작에 의한 형식적 수학적 공간과 실질적 물리학적 공간을 나누어진다.

전공간적 위상

지각에는 감각이 휠례적 계기로서 포함된 것처럼 전공간적 영역은 구체적 공간에 대해 생기가 불어넣어지고 통각이 되기 이전의 내재적 영역이다. 이것은 감각장(시각장, 청각장, 촉각장)과 기관 운동장(안구 운동장, 촉각 운동장)으로 나누어진다. 감각장은 중심을 지닌 원 형상의 불명확하게 경계 지어지는 2차원 연속체이며 중심과 주변이라는 위치 체계가 보이고 변화가 있지만, 어떠한 운동도 존재하지 않는다. 기관 운동장은 '나는 움직인다'라는 의식의 근거를 형성하는 운동 감각적 소여에 기초하는 것으로서 자세나 운동의 빠르기 또는 가속의 감각, 긴장감 나아가서 이들에 수반되는 고통감 등이 여기에 속한다.

예를 들어 감각장의 어떤 형태의 변화가 형태 자신의 변화인가 아니면 나에 대한 위치의 이동에 의한 변화인가 하는 것은 '내가 움직인다'에 의해 그 변화가 본래대로 되돌려지는가 아닌가에 의해서 결정된다. 이를 통해 감각적인 합동 이동과 기관 운동적인 운동이 구별되고 중심, 주변이라는 위치에 체계가 임의로 움직여질 수 있게 되면 눈은 그 육체성을 제거당해 시광전행의 비물체적 기관이 되고 기관 운동장은 시광운동장이 된다. 신체 구성의 중요한 계기인 이중감각은 이러한 영역의 특이 현상이다.

구체적 공간

이 공간은 체험된 공간 또는 생활 공간이라고도 불리지만, 그에 대한 해명은 후설의 지각이론과 하이데거의 현 존재의 공간성에 대한 분석 및 메를로, 퐁티의 신체론을 정초적인 업적을 하여 진전되어 왔다. 이 공간은 인간의 지정의라는 존재 방식에 대응하여 표상적, 상모적, 행동적인 세 가지 국면을 지니고 이 세 가지가 통합된 것이지만 그때마다 두드러진 국면을 따라서 직관적(표상적) 공간, 상모적(기분 지어진) 공간, 행동(행위) 공간으로 나누어질 수 있다. 행동 공간에서는 상하, 좌우, 전후라는 방향성이 두드러져 보이지만 그것은 신체의 기능성에 의한 바가 크다. 상모적 공간에선 이러한 방향성이나 표상 공간에서의 퍼스펙티브라는 것이 보이지 않고 등방도 이방도 아니면 무방(無方)이고 분위기적이다. 종교적 내지는 축제적인 성스러운 공간이나 예술적 공간은 다분히 상모적 공간에 따른다. 표상적 공간에서는 신체가 놓여 있는 여기를 원점으로 하는 깊이와 퍼스펙티브가 주목되는 현상이지만, 다른 공간과는 달리 이 공간은 미세하게 구조화되어있고 공간의 장소도 점적인 것으로까지 줄어들 수 있다. 더 나아가 시점(視點)과 장소의 이동에 의해서 신체라는 표상 공간 내의 중심점이 탈중심화되어 상호주관적인 공동공간이 구상되며 이념화에 의해 극한의 형태가 선취되어 이념적 공간이 성립된다.

형식적, 수학적 공간

예를 들어 곡면상에서 직선을 그을 수 있는가(원주면이나 원추면 등) 없는가(구면이나 의구면 등)와 같은 위상적인 성질과 전곡률이라고 불리는 공간의 일그러짐 정도는 그 곡률이 일정한지 아닌지 하는 계량 관계에 의해 분류된다(유클리드 공간, 타원 공간). 그때 공간론의 전개는 몇 가지 수학적 절차에 기초한다. 기호를 매개로 한 형식화의 조작에 의해 수행되는 것(기하학의 대수화), 곡률의 판정이 근방이라는 극미의 범위에서 성립하는 것(미분기하학) 등이 이것들이다. 즉 수학적 공간은 이념화와 형식화의 조작에 의해 구성되지만 그러한 조작에는 수학적 귀납법에서 나오는 회귀적(반복 가능성의) 법칙성에 의한 무한의 과정의 선취라는 것이 따라다닌다. 예를 들어 이념적 존재인 수학적인 점은 구성이 완결되지 않는 한에서 구성 가능한 형성체라는 역설적인 의미가 있다.

실질적, 물리학적 공간

표상 공간의 이념화에 의해 얻어지는 공간은 유클리드 공간이지만 이것은 실질적 공간(유클리드 기하학에서의 공간)이어서 수학에서 형식화된 유클리드 공간과는 구별된다. 이에 대해 고전 물리학에서 공간은 공간을 채우는 질(질량, 강체, 온도 등)이 그것에 짜 넣어진다는 것과 질의 규정이 인과성을 기초로 한다는 것(예를 들어 체적/온도 = 일정에 의한 온도의 규정)에 놓여있다. 결국 고전 물리학에서의 공간은 물질적, 인과적 사물과 유클리드 공간이 종합된 데서 성립한다. 그때 사물의 길이가 장소와 이동에 의해 변하지 않는다(기하하적으로 합동 변환이 성립한다는 것)고 하는 것에서 전형적으로 보이듯이 공간과 사물은 상호작용이 없는 것, 독립된 것으로 여겼다. 현대 물리학에서 공간은 시간과 일체화된 4차원 시공으로서 통합되고 고전 물리학에서의 자연의 인과성에 대해 의문이 들며 물질로부터의 공간 독립성이 포기되었지만, 시공적인 장과 물질이 어떻게 관계 지어지는지에 관한 물음은 해결되지 않고 있다.

물리학에서의 공간

물리학에서 공간의 정의는 여러 이론이 있다. 다음과 같이 다양한 개념으로 공간의 정의를 시도한다.

물체 사이의 공간적 관계의 집합으로써 정의되는 구조 물체가 있는 좌표계에 의해 정의되는 다양체 한 물체를 다른 물체와 분리되어 존재하게 하는 것

고전 물리학에서 공간은 어느 한 위치가 3개의 좌표축에 의해서 기술되는 3차원 유클리드 공간이다. 상대론적 물리학에서는 공간보다 시공간을 더 고찰한다. 시공간은 4차원의 다양체로 모형화 되었으며, 요즘에는 그 이론이 11차원까지 여겨지고 있다.

아인슈타인의 상대론적인 물리학 연구 이전에는 시간과 공간은 서로 독립적인 차원이라고 여겼으며 아인슈타인의 연구는 시간과 공간을 하나의 시공간을 통합했다. 시공간에서 시간과 공간의 측정은 속도에 상대적이다.

공간의 차원

차원(Dimension)

구분	0차원	1차원	2차원	3차원	n차원
위상	점	선	면	입체	초입체
측도	셈 측도	길이	넓이	부피	초부피
유클리드 공간		민코프스키 시공간		측도론

공간의 차원은 생물학을 비롯하여 물리법칙에 큰 영향을 끼친다. 2차원 이하의 생명체는 지능을 가질 수 없다고 여기고 3차원에선 뉴런이 임의의 수의 뉴런과 연결될 수 있지만, 2차원에서는 신경이 교차할 수 없음으로 이것은 불가능하다.

가우스 법칙에 따라 2차원 이하에서는 거리가 커질 때 퍼텐셜 발산하고 이로 인해 행성의 궤도는 언제나 속박되어 있으며 원자의 이온화도 불가능하다. 3차원에서는 유효퍼텐셜이 아래로 볼록하여 근일점과 원일점 사이를 오가는 안정한 궤도가 가능하다. 4차원에서 천체는 원 궤도만 가능하고 타원 궤도는 불가능하다. 5차원 이상은 유효퍼텐셜이 위로 볼록하여 천체는 궤도를 이루지 못한다.

디랙 방정식을 고려하였을 때, 4차원 이상에서는 안정한 수소 원자 모형이 존재하지 않는다.

짝수 차원에서는 파동이 0~c의 다양한 속도로 전파되어 다른 시간에 생긴 파동이 동시에 도달하는 문제가 발생한다. 홀수 중에서도 1, 3차원에서만 파동이 파원의 진폭에 정확히 비례하는 방식으로 전달된다.

천문학에서의 공간

천문학에서 공간은 우주의 빈 부분을 통합하여 이야기한다. 천체의 대기권 바깥 부분을 공간이라고 말할 수 있다. 우주 공간과 지구의 대기권 사이의 경계는 통상적으로 카르만 선에서 정해진다.

수학에서의 공간

수학에서 공간은 몇 가지의 특별한 속성과 부가적 구조를 가지는 집합이다. 가끔 공간은 벡터 공간 또는 자기 자신의 특이한 변형이다.

바나흐 공간

함수 해석학에서 바나흐 공간(空間, Banach space)은 완비 노름 공간이다. 스테판 바나흐의 이름을 따왔다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 혹은 복소수체라고 하자.

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\|\cdot \|)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이고, 이것을 만족시키는 $\mathbb {K}$-노름 공간을 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라고 한다.

• 노름으로 정의한 거리 함수를 부여하게 되면, 완비 거리 공간이다. 모든 코시 열이 수렴한다.
• 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 임의의 점렬 $(v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty$라면, 급수 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}$ 역시 노름으로 정의한 거리 위상에 대해 수렴한다.

체 $\mathbb {K}$를 실수체 혹은 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. 예를 들어서 유리수체는 완비되지 못한다.

유클리드 공간

3차원 유클리드 공간상의 각 점은 3개의 좌표축에 의해 결정된다.

수학에서 유클리드 공간(Euclidean space)은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계에 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이것은 표준적인 유한 차원, 실수, 내적 공간이다. 때에 따라 민코프스프키 공간에 대비되는 주장으로 피타고라스의 정리에 의한 길이 소의 제곱 계수가 모두 양수인 공간을 말한다.

정의

음이 아닌 정수 $n=0,1,2,\dots$에 대해 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$은 집합으로서 실수 집합 $\mathbb {R}$의 $n$번 곱집합이다.

이 위에 내적

$\langle u,v\rangle =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$ 를 정의하면,

$\mathbb {R} ^{n}$은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라서 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.

자명한 좌표근방계를 주어서 매끄러운 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이러한 겨우, 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치하다.

힐베르트 공간

함수 해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert space)은 모든 코시 열의 극한이 존재하는 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의

$K$가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$라고 하자. $K$-힐베르트 공간 $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$은 완비 거리 공간을 이루는 $K$-내적 공간이다. 내적 공간인 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간, 거리 공간, 벡터 공간, 노름 공간 중에서 원하는 구조를 갖는다.

이와 논리가 같은 것으로, $K$-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식을 만족시키는 $K$-바나흐 공간 $({\mathcal {H}},\|\cdot \|)$으로 정의할 수 있다.

$\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})\qquad \forall u,v\in {\mathcal {H}}$

이러한 경우 내적 구조는

$\langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)&K=\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)&K=\mathbb {C} \\\end{cases}}$ 가 된다.

거리 공간

수학에서 거리 공간(metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 가진다.

정의

집합 $X$ 위의 거리 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수 $d\colon X\times X\to [0,\infty )$ 이다.

• 구분 불가능한 점의 동일성인 임의의 $x,y\in X$에 대해서 $d(x,y)=0\iff x=y$
• 대칭성인 임의의 $x,y\in X$에 대해서 $d(x,y)=d(y,x)$
• 삼각 부등식인 임의의 $x,y,z\in X$에 대해서 $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 바꿀 수 있다.

• 삼각 부등식인 $d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)$

여기서 $y=x$로 설정하면, $d(y,x)=d(x,y)$가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 $d(x,y)=0\Longleftarrow x=y$로 약화시키게 되면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다. 거리 공간 $(X,d)$은 거리 함수가 주어진 집합이다.

벡터 공간

선형대수학에서 벡터 공간(vector space) 또는 선형 공간(linear space)은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우이다. 벡터 공간의 원소를 벡터라고 하고 이것은 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $(V,+,\cdot )$은 $K$에 대한 가군 이다. 다음과 같은 튜플이다.

• $V$는 집합이고 이 집합의 원소를 벡터라고 한다.
• $+\colon V\times V\to V$는 함수이고 이 연산을 벡터 덧셈이라고 한다.
• $\cdot \colon K\times V\to V$는 함수이고 이 연산을 스칼라 곱셈이라고 한다.

이와 같은 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

• $(V,+)$는 아벨 군을 이루고 다음과 같은 성질들이 성립한다.
  • 벡터 덧셈의 결합 법칙인 임의의 $u,v,w\in V$에 대해서 $(u+v)+w=u+(v+w)$
  • 벡터 덧셈의 교환 법칙인 임의의 $u,v\in V$에 대해서 $u+v=v+u$
  • 벡터 덧셈의 항등원인 임의의 $u\in V$에 대해서 $u+0=u$인 원소 $0\in V$가 존재한다.
  • 역원의 존재인 임의의 $u\in V$에 대해서 $-u+u=0$인 원소 $-u\in V$가 존재한다.
• $(V,+,\cdot )$는 $K$의 가군을 이루고 다음과 같은 성질들이 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $v\in V$에 대해서 $a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v$
  • 임의의 $v\in V$에 대해서 $1\cdot v=v$. 여기서 $1\in K$는 $K$의 곱셈 항등원이다.
  • 분배 법칙인 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$에 대해서 $(a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v$

실수체 $\mathbb {R}$에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(real vector space)이라 칭하고 복소수체 $\mathbb {C}$에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(complex vector space)이라고 칭한다.

참고자료

• 〈공간〉, 《위키백과》
• 〈공간〉, 《나무위키》
• 〈공간〉, 《네이버 지식백과(현상학 사전)》
• 〈바나흐 공간〉, 《위키백과》
• 〈유클리드 공간〉, 《위키백과》
• 〈힐베르트 공간〉, 《위키백과》
• 〈벡터 공간〉, 《위키백과》

같이 보기

• 시간
• 시공간

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