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2021년 7월 21일 (수) 09:54 판
차원(dimension)은 수학에서 공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수이다.
목차
개요
3차원은 위치를 말하기 위해 필요한 세 가지인 가로, 세로, 높이이다. 1차원 공간은 직선이며, 이 직선상의 한 점의 위치는 기준점으로부터 x 하나로 효시할 수 있는데 이를 좌표라고 한다. 2차원 공간은 평면이며, 평면 위의 한 점의 위치는 (x. y)의 두 개의 실수로 표현할 수 있다. 3차원 공간은 우리가 일상적으로 경험하는 입체 공간이고 이 공간에서의 한 점의 위치는 (x, y, z)의 세 개의 실수로 표현할 수 있다. 4차원은 보통 상대성이론에 나오는 시공간(spacetime)을 일컫는다.[1] 일반적으로 하나의 공간 속에서 독립적으로 취할 수 있는 좌표축의 최대수가 그 공간의 차원을 나타낸다.
수학적 차원
차원이란 말은 원래 수학에서 유래되었는데, 수학에서 말하는 차원은 공간이나 도형이 넓어지는 정도를 나타내는 개념이다. 이런 의미의 차원의 개념은 기원전부터 있었다. 기하학의 시조라 불리는 고대 그리스 수학자인 유클리드는 자신이 저술한 기하학 원론에서 점, 선, 면, 입체의 정의를 내렸다. 점은 부분을 갖지 않는 것이고, 선이란 폭이 없는 길이이며, 면이란 길이와 폭만 가진 것이고, 입체란 길이와 폭과 높이를 가진 것이라고 했다. 프랑스의 철학자 데카르트는 차원은 한 점의 위치를 정하기 위해 필요한 수치의 개수라고 했다. 선 위의 한 점의 위치를 정할 때 기준점에서 거리에 해당하는 1개의 수가 필요하므로 곧 선은 1차원이다. 하지만 면에서 한 점의 위치를 정할 때 두 개의 수치가 필요하므로 면은 2차원인 것이다. 평면이 아닌 지구의 표면의 경우도 경도와 위도라는 2개의 수치로 위치를 특정할 수 있으므로 2차원이다. 하늘을 나는 비행기를 생각했을 때, 비행기의 위치는 위도와 경도를 포함해 높이의 정보가 필요하다. 즉, 위도, 경도, 높이라는 3개의 수치를 사용해야 비행기의 위치를 알 수 있다. 적절한 좌표를 설정해 기준을 잡으면 공간에 존재하는 모든 사물의 위치를 특정할 수 있으므로, 이런 점에서 볼 때 우리가 살고 있는 공간은 3차원이다.[2]
유클리드
유클리드는 차원이라는 용어를 사용하여 길이·폭·깊이라는 사물의 성질에 수학적 의미를 부여했다. 유클리드 기하학에서 직선은 전형적인 일차원적 사물로 정의되는데, 이는 직선이 길이라는 단 하나의 성질을 갖고 있기 때문이다. 같은 방식으로 길이와 폭이라는 성질을 갖고 있는 평면은 이차원적 사물의 전형이며, 길이·폭·깊이를 모두 갖고 있는 입체는 3차원적 사물의 전형이다. 이렇게 유클리드 시대의 수학은 3차원 세계에 대한 고래 그리스인들의 생각을 수학적으로 뒷받침하였다.[3] 수학에서 유클리드 공간은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이 그리고 각도를 좌표계에 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이 표준적인 유한자원, 실수, 내적 공간이다. 직선은 1차원 유클리드 공간, 평면은 2차원 유클리드 공간, 공간은 3차원 유클리드 공간이다. 경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서 피타고라스 정의에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.[4]
- 유클리드 기하학의 공준
- 어떤 한 점에서 어떤 다른 한 점으로 선분을 그릴 수 있다.
- 임의의 선분을 선을 따라 다른 선분으로 연장할 수 있다.
- 어떤 한 점을 중심으로 하고 이에 대한 거리(반지름)로 하나의 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 서로 같다.
- 평행선 공준 : 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180도)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2 직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.[5]
- 유클리드 공간
음이 아닌 정수 n = 0, 1, 2, ...에 대하여, n차원 유클리드 공간 Rⁿ은 집합으로서 실수 집합 R의 n번 곱집합이다. 이 위에 내적을 정의하면 Rⁿ은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라서 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다. 또한 자명한 좌표 근방계를 주어 매끄러운 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이 경우 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치한다.[6]
- 유클리드 벡터
수학, 물리학, 공학에서 유클리드 벡터 또는 벡터는 벡터의 특수한 경우로 유클리드 공간에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상이다. 주로 유향선분 또는 화살표로 표현한다. 주로 힘이나 자기장, 전기장, 변위와 같이 방향과 크기를 둘 다 가지는 물리적 개념을 설명할 때 이용된다. 물리적 현상을 나타낼 때는 주로 2차원 또는 3차원 벡터양을 쓴다. 스칼라양은 단지 하나의 크기만을 표현할 수 있지만 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. x축의 단위벡터인 e₁방향과 y축의 단위벡터인 e₂방향과 각각의 크기인 a, b를 나타내는 2차원 벡터 (a, b) 와, 여기에 z축의 단위벡터인 e₃과 크기인 c를 나타내면 3차원 벡터 (a, b, c)를 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연현상에 대해 배우는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다.[7]
데카르트
근대에 들어 프랑스의 수학자 데카르트는 유클리드와 다른 방식으로 기하학에 접근했다. 대상의 길이·폭·깊이가 아닌 좌표라는 추상적 수치 체계를 도입한 것이다. 그에 따르면 어떤 사물의 차원은 그것을 나타내기 위해 필요한 좌표의 개수와 상관관계가 있다. 예를 들어 하나의 선은 오직 하나의 좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로 일차원이며, 두 개의 좌표를 써서 나타낼 수 있는 평면은 이차원이다. 같은 방법으로 입체가 삼차원인 이유는 이를 나타내기 위하여 세 개의 좌표가 필요하기 때문이다. 유클리드의 차원이 감각적인 대상의 특성에 기반한다는 점에서 질적이라고 한다면, 데카르트의 차원은 추상적인 수치에 기반한다는 점에서 양적이었다. 그는 사차원의 가능성을 모색해 보다가 결국 스스로 포기하고 말았는데, 눈으로 보여줄 수 없는 것의 존재 가능성을 인정하지 않으려 했던 당시 수학자들의 저항을 극복하지 못했기 때문이다.[3]
- 데카르트 좌표계
데카르트 좌표계는 임의의 차원인 유클리드 공간을 나타내는 좌표계 중 하나이다. 2차원 데카르트 좌표계는 좌표평면, 3차원 데카르트 좌표계는 좌표 공간이라고도 한다. 직교 좌표계는 데카르트 좌표계를 포함하여 극 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 좌표 축과 평행한 단위벡터끼리 항상 서로 수직 한 모든 좌표계를 총칭하는 표현이다. 데카르트 좌표계는 극 좌표계 등 다른 좌표계와 달리 임의의 차원으로 쉽게 일반화할 수 있다. 나타내는 대상이 평행 이동에 대한 대칭을 가질 때 유용하나 회전 대칭 등 다른 꼴의 대칭은 쉽게 나타내지 못한다. 일반적으로 주어진 유클리드 공간에 기저와 원점이 주어지면 이를 이용하여 데카르트 좌표계를 정의할 수 있다.[8]
- 좌표 평면
평면의 데카르트 좌표는 x 좌표 축과 y 좌표 축 단위로 지정한다. 기준점은 x축과 y축의 교차점이다. 평면 내 점의 데카르트 좌표는 (x, y)로 표기한다. 첫 번째 숫자 x는 x축 방향의 원점에서 부호화된 거리이므로 x-좌표 또는 x-구성요소라고 불린다. x좌표는 y축의 오른쪽 또는 왼쪽까지의 거리를 지정한다. 마찬가지로 두 번째 숫자 y를 y축 방향의 원점에서 부호화된 거리이므로 y축이라고 하는데, y축은 x축 위아래 거리를 명시한다. 데카르트 좌표 (x, y)는 x축과 y축의 교차점인 원점에 대해 상대적인 위치를 지정한다.[9]
- 좌표 공간
3차원 공간에서 데카르트 좌표계는 x축, y축, z축의 세 가지 상호 수칙 좌표 축을 기반으로 한다. 세 축은 원점이라고 불리는 지점에서 교차한다. 그 기준점은 방 한구석의, 벽과 바닥이 만나는 지점이라고 생각하면 된다. x축은 왼쪽 벽과 바닥이 교차하는 수평선, y축은 오른쪽 벽과 바닥이 교차하는 수평선, z축은 벽이 교차하는 수직선이다. 방 안에 서 있는 동안 보이는 선의 부분은 아래 사진에 x, y, z로 표시된 각 축의 절반으로 표시된 각 축의 양의 부분이다. 이 축의 음의 부분은 아래에 각 축의 레이블이 없는 반쪽으로 표시되는 방 외부의 선의 연속이다.[9]
리만
4차원의 개념이 인정을 받은 것은 19세기 독일의 수학자 리만에 이르러서였다. 리만은 데카르트의 좌표에 대한 정의를 활용해 0차원에서 무한대의 차원까지 기술할 수 있다는 점을 입증하였다. 리만에 따르면 감지할 수 있는 공간에서만 수학적 차원을 언급할 필요가 없었는데 단지 순수하게 논리적으로 개념적 공간을 언급할 수 있으면 족하다. 리만은 이를 다양체(Mainfold)라는 개념 속에 포괄하였다. 다양체는 그것을 결정하는 요인의 개수만큼의 차원을 갖게 된다. 헤아릴 수 없이 많은 요인들이 작용하여 이루어지는 어떤 대상이나 영역이 있다면 그것은 무한 차원에 가까운 다양체라고 할 수 있다.[3]
- 다양체
위상수학과 기하학에서 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다. 더 정밀히 말하면 한 n차원 다양체의 각 점이 n차원의 유클리드 공간에 대해 위상동형사상인 근방을 가지고 있는 것이며 이러한 정밀한 정의에서 다양체는 n-다양체라고 불린다.[10]
물리학에서의 차원
물리적 차원이란 더 이상 단순한 단위로 표현될 수 없고 이것들의 조합으로 물리량의 단위를 만들어낼 수 있는 단위이다. 만약 1㎝가 큰 지 1초가 큰지 비교를 하고자 할 때, 1㎝는 공간의 길이를 나타내는 물리량이고 1초는 시간의 흐름을 나타내는 물리량이기 때문에 비교할 수 없다. 이렇게 직접 비교할 수 없는 물리적인 성질을 차원이 다르다고 한다. 에너지, 운동량, 전하량, 힘, 부피, 넓이 등이 갖는 단위가 그 물리량의 차원을 나타낸다.[11] 물리량들은 길이(L), 질량(M), 시간(T), 혹은 이들을 조합한 속성을 가진다. 이 세 가지를 물리량의 기본 차원이라고 부른다. 단위는 차원에 치수를 지정한 것으로 예를 들어 미터는 길이의 단위이다. 보통 SI 단위계를 채용해 미터(m), 킬로그램(㎞), 초(s)를 길이, 질량, 시간의 단위로 사용한다. 예를 들어 힘은 질량과 가속도의 곱으로 차원은 [MLT^2]이며 SI 단위계에서 [kg·m/s^2]의 단위를 가진다. 이 단위는 간단하게 줄여서 뉴턴(N)이라고 부른다.[12]
우주의 차원
아인슈타인의 4차원
아인슈타인의 상대성이론이 나옴으로써 시간과 공간에 대한 인식이 바뀌었다. 뉴턴은 시간과 공간을 서로 전혀 다른 것으로 보아 우주 전체 시간의 흐름은 똑같고 공간 또한 만물이 존재하는 장소 외에 다른 의미가 없다고 보았다. 반면, 아인슈타인은 물체가 움직이는 속도와 질량에 따라 시간의 흐름이 달라지고 공간도 휜다고 했다. 시간과 공간은 따로 분리된 독립된 개념이 아니라 서로 얽혀 있는 것이다. 아인슈타인은 3차원의 공간과 1차원의 시간을 하나로 간주해 4차원 시공이라고 했다. 어떤 사물의 위치를 정하는 데 공간적 좌표뿐만 아니라 시간이 필요하기 때문이다. 그러므로 우주는 곧 4차원 시공인 셈이다. 상대성이론에 의하면 중력은 4차원 시공간의 휘어짐(3차원 공간의 휘어짐과 시간의 느려짐)에 의해 발생한다. 무거운 천체일수록 주위에 있는 시공의 휘어짐이 커진다. 우리는 4차원 시공간 또는 3차원 공간이 휜다는 것을 상상하기 어렵다. 지구의 표면은 2차원인데 3차원에서 보면 휘어져 있지만 2차원 생명체는 그 표면이 휘어져 있는지를 알 수 없는 것처럼 말이다. 우리가 3차원 공간 또는 4차원 시공간이 휘어져 있는지를 알려면 우리가 5차원 시공간을 넘나들 수 있는 차원이 되어야 한다.[2]
초끈이론
이론물리학에서 초끈이론(Superstring Theory)은 자연계의 모든 입자와 기본 상호작용을 미세한 크기의 초대칭적 끈의 진동으로 설명하려는 시도로 끈 이론의 일종이다. 초끈 이론은 기본적으로 상대성이론과 양자론의 충돌을 설명하기 위해 만들어진 이론으로 이 충돌은 바로 플랑크 길이라는 아주 작은 영역 안에서 일어나는 일로서 양자적 요동이라는 현상에서 발생한다. 초끈이론은 숨겨진 차원이 있다고 설명한다. 예를 들어 1차원 선을 말아서 원을 만든 다음 그 원을 수직 방향으로 이동시켜 원통 모양의 2차원 물체를 만든다. 그 물체의 두께가 매우 얇다고 했을 때 멀리서 본 그 물체는 2차원 물체가 아닌 1차원 물체인 끈으로 보일 것이다. 이처럼 차원을 매우 작게 만들어 숨길 수 있는데 이 사실을 이용하면 플랑크 길이 안에 차원을 둥글게 말아 숨길 수 있다.[13] 초끈이론은 입자가 아닌 끈이 우주를 구성한다고 본다. 현악기를 연주할 때 줄의 진동에 따라 한 줄로 다양한 소리를 낼 수 있듯이 초끈의 진동 방식의 차이에 의해 빛, 전자, 중력자, 소립자 등의 모든 만물이 생성되었다고 한다. 이 초끈이론은 우주를 10차원 시공이라고 생각한다. 3차원 공간은 무수한 점으로 이루어져 있다고 볼 수 있다고 볼 수 있는데 각 점들의 미시세계로 들어가 보면 각 점마다 6개의 상위 차원이 존재한다. 그 상위 차원과 3차원의 거리는 10-23m로 가까운 거리이다. 초끈이론에서는 우리가 살고 있는 이 4차원 시공간의 우주를 고차원에 떠 있는 막이라고 본다. 바로 옆에 공간이 무한대로 펼쳐져 있어도 2차원 세계에서는 인식할 수 없듯 4차원 시공간 바로 옆에 고차원 세계가 있음에도 우리는 차원에 막혀 인식할 수 없는 것이다. 이 막은 초끈으로 구성되어 있는데 초끈은 4차원 시공간에 갇혀 있는 끈도 있지만 고차원을 넘나드는 끈도 있다. 우리는 4차원 시공간에 있지만 우리들을 이루는 끈 중 일부는 고차원을 넘나들고 있는 것이다.[2]
각주
- ↑ 〈차원〉, 《네이버 지식백과》
- ↑ 2.0 2.1 2.2 교무부, 〈차원이란 무엇인가?〉, 《대순회보》, 2019-08
- ↑ 3.0 3.1 3.2 구거투스, 〈차원에 대한 이론 발전 과정(2009, 고3, 3월〉, 《개인 블로그》, 2018-04-02
- ↑ 〈유클리드 공간〉, 《위키백과》
- ↑ 〈유클리드 기하학〉, 《나무위키》
- ↑ 유클리드 공간〉, 《WIKIDECK》
- ↑ 〈유클리드 벡터〉, 《위키백과》
- ↑ 〈데카르트 좌표계〉, 《위키백과》
- ↑ 9.0 9.1 〈데카르트 좌표계〉, 《개인 블로그》, 2020-04-01
- ↑ 〈다양체〉, 《위키백과》
- ↑ 〈차원 : 수학적 차원과 물리적 차원〉, 《개인 블로그》, 2017-09-08
- ↑ 〈차원분석〉, 《statphys》, 2018-07-06
- ↑ 〈초끈 이론〉, 《위키백과》
참고자료
- 〈차원〉, 《네이버 지식백과》
- 〈다양체〉, 《위키백과》
- 〈유클리드 벡터〉, 《위키백과》
- 〈유클리드 공간〉, 《위키백과》
- 〈데카르트 좌표계〉, 《위키백과》
- 〈유클리드 공간〉, 《WIKIDECK》
- 〈차원 : 수학적 차원과 물리적 차원〉, 《개인 블로그》, 2017-09-08
- 구거투스, 〈차원에 대한 이론 발전 과정(2009, 고3, 3월〉, 《개인 블로그》, 2018-04-02
- 〈차원분석〉, 《statphys》, 2018-07-06
- 교무부, 〈차원이란 무엇인가?〉, 《대순회보》, 2019-08
- 〈데카르트 좌표계〉, 《개인 블로그》, 2020-04-01
- 〈유클리드 기하학〉, 《나무위키》
- 〈초끈 이론〉, 《위키백과》
같이 보기
