해시넷
4D
4D(포디, Fourth Dimension)란 4개의 차원으로 이루어진 임의의 공간으로, 4차원 이라고도 한다. 수식어로서 3차원에 사는 일반인은 이해할 수 없는 무엇이라는 뜻을 가지기도 한다.[1]
목차
4차원의 이해
공간
공간의 사전적 정의는 어떤 물질 또는 물체가 존재할 수 있거나 어떤 일이 일어날 수 있는 장소이다.[2] 공간은 거리와 길이, 각도를 반영한 좌표계를 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한[3] 수학에서의 유클리드 공간을 비롯해 관점에 따라 다양하게 존재한다. 주로 물리학, 천문학, 수학, 불교, 철학등으로 나뉘며, 같은 분야에서도 공간에 대한 정의는 여러 의미와 종류로 나뉠 수 있다.[2] 이때 4차원에서 말하는 공간은 물리학적 공간에서는 존재할 수 없다.[4]
차원
어떠한 공간에 대해 차원이라고 하는 것은 그 공간의 성분 중 서로에게 영향을 미치지 않고 독립적으로 움직일 수 있는 성분들의 최대 개수이다. 즉 서로 영향을 끼치지 않는 4가지 성분을 나타낼 수 있으면 그것은 4차원이다.
성분을 데이터로 하여 예로 들어 생각해보면 어떤 사람 에이(A)에 대한 수치 데이터를 다룬다고 가정한다. 이때 이 사람의 키, 몸무게, 가족수, 재산을 통계로 만들면 에이(A)라는 사람은 (172cm, 64kg, 4명, 5억 원)이라는 4개의 숫자쌍으로 정의할 수 있다. 이때 각각의 정보는 서로 영향을 주지 않는 독립된 정보이다. 따라서 위와 같이 나타낸 순서쌍은 4차원 데이터 라고 할 수 있다.[5]
기하학적으로 예를 들면 우리가 사는 3차원은 3개의 직선이 앞뒤, 좌우, 위아래의 3가지 방향으로 자유롭게 움직일 수 있는 공간을 뜻하며, 마찬가지로 적용하면 4차원은 수직선 4개가 서로 직교하는 공간인 것이다. 이때 4차원은 평면에 그릴 수 없고 머릿속으로 상상만 할 수 있다.[6]
4차원 공간
수직선 4개가 직교하는 공간이라는 것은 좌표축이 4개 있다는 것과 같다. 즉, 4차원은 한 점에 한 점에 막대 4개를 모두 서로 직교하게 놓을 수 있어야 한다. 하지만 우리가 사는 세상은 3차원이므로 이는 불가능한 일이다. 4개의 좌표축을 그릴 수 있는 방법은 다음과 같다. 만약 종이 안의 구면 좌표계에 사람 알파가 살고 있다고 가정하면 그 사람은 좌표축 3개가 직교된 모습을 그릴 수 있다. 하지만 그려진 3개의 좌표측에 모두 수직인 직선은 어떻게 해도 그릴 수 없다. 이때 종이 밖에 있는 현실의 사람인 베타가 막대를 가져와 종이에 그려진 좌표의 원점에 수직으로 세운다. 그럼 베타의 입장에서는 종이 안에서 직교하고 있는 3개의 좌표축 모두와 수직인 직선을 세운 셈이다. 이때 종이 위에 세운 막대가 바로 네 번째 좌표축이 되고 알파에게 베타가 있는 공간은 4차원이다. 해당 개념을 적용해 우리는 우주를 4차원이라고 한다. 하지만 이와 같이 현실에서 말하는 4차원은 사실 3차원 공간에 1차원 시간을 더한 물리학 단어인 '4차원 시공간'이며 4차원 공간이 아니다.
4차원 공간의 모습을 상상하기 힘든 이유는 바로 우리가 3차원 공간에서 살고 있으며, 4차원 공간을 직접 본 적이 없기 때문이다. 또한 일상 생활에서 4차원을 그려야 할 일도 없어 4차원 공간의 모습이 쉽게 떠오르는 것이 오히려 신기한 일이다. 따라서 4차원 도형을 구현한 영상을 보아도 3차원 물체가 연결된 채로 원운동과 자유변형까지 하는것을 알아보는것은 매우 힘든일이다.[5]
4차원 입체도형
4차원에서 재현되는 도형을 보다 쉽게 이해하기 위해선 0차원에서 시작해 4차원까지 직관적으로 차원을 확장해나가야 한다. 먼저 수학에서의 0차원은 점이다. 0차원은 독립적으로 움직일 수 있는 성분이 존재하지 않기 때문에, 어떤 방향으로도 움직일 수 없고 단지 위치값만을 가진다. 점을 한 방향으로 늘리면 1차원 도형인 선분이 된다. 이렇게 생성된 선분을 다시 수직방향으로 아까와 동일한 길이만큼 늘리면 2차원 도형인 정사각형이, 정사각형을 다시 일정한 길이만큼 수직으로 늘리면 3차원 도형인 정육면체가 만들어진다. 따라서 4차원 도형도 3차원인 정육면체를 수직으로 늘리면 얻을 수 있다. 이렇게 얻는 4차원 입체도형을 초입방체라고 부른다.[7]
종류
- 정다포체 - 다포체란 n차원 유클리드 초공간에서 다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리키며, 정다포체는 구성하고있는 다포체가 서로 합동인 (n-1)차원의 포로 이루어져 있는것을 말한다. 이러한 도형들을 2차원에서는 정다각형, 3차원에서는 정다면체, 4차원 이상에서는 정다포체라고 부른다.[5] 4차원에서의 정다포체는 오직 6개만이 존재할 수 있다.[8]
- 정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체
- 초기둥
- 4차원 초각기둥(Hyperprism) - 두 개의 4차원 방향으로 평행한 3차원 다면체 사이에 선을 그어 형성되는 도형이다. 4차원 초각기둥은 총 두 개의 다면체와 그 다면체를 이루는 면의 개수만큼의 각기둥으로 구성된다.
- 구 초기둥(Spherinder / Spherical cylinder) : 밑포가 구로 이뤄진 초기둥이다. 초각기둥과 같이 평행한 두 개의 구 사이에 4차원 공간을 채우는 4차원 도형으로 이루어진다.
- 원뿔 초기둥(Coninder / Conical cylinder) : 밑포가 원뿔으로 이뤄진 초기둥이다. 다른 초기둥들과 같이 이루어져 있고, 밑포의 종류에 따라 이름이 다르게 붙여진다.
- 원기둥 초기둥(Cubinder / Cubical Cylinder) : 밑포가 원기둥으로 이뤄진 초기둥이다. 다른 초기둥들과 같이 이루어져 있고, 밑포의 종류에 따라 이름이 다르게 붙여진다.
- 초뿔
- 4차원 초각뿔: 하나의 다면체를 4차원 공간상의 꼭짓점과 이어서 만든 도형이다.
- 구 초뿔(Sperone) : 밑포가 구로 이뤄진 초뿔이다.
- 다이콘(Dicone): 원뿔의 모든 지점을 4차원 공간상의 한 꼭짓점과 이어서 만든 도형이다. 두 개의 원뿔이 붙은 것과 비슷한 모양이라고하여 다이콘이라고 부르기도 한다.
- 원기둥 초뿔(Cylindrone / Cylinderical Cone) : 밑포가 원기둥으로 이뤄진 초뿔이다.
- 정육면체 뿔(Cubic Pyramid) : 밑포가 정육면체로 이뤄진 초뿔이다. 정팔포체의 각 포에 정육면체 뿔을 붙이면 정이십사포체를 만들 수 있다.[5]
- 토러스 - 구를 4차원 축에서 회전한 모양과 같다. 회전한 구가 시작한 구와 접하면 체 하나가 사라진다.[9]
- 토러스 초기둥(Torinder) : 밑포가 토러스로 이뤄진 초기둥이다.
- 구 토러스(Spheritorus): 구를 특정 축으로 회전시켜 얻을 수 있는 도형이다. 토러스 구와 위상수학적으로 한 쌍을 이루는 쌍대 관계이다.
- 토러스 구(Torisphere) : 구 초기둥을의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결해 얻는 도형이다. 토러스와 위상수학적으로 한 쌍을 이루는 쌍대 관계이다.
- 다이토러스(Ditorus) : 토러스 초기둥의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결하면 얻을 수 있는 도형이다.
- 타이거(Tiger) : 토러스의 각 단면이 되는 원을 다시 다른 방향으로 토러스의 형태로 회전시켜 얻어지는 도형으로, 일반인들이 이해하기 가장 난해한 형태의 도형이다.
- 크로스캡 : 토러스 한쪽 부분의 안팎을 뒤집은 모양의 도형이다. 클라인의 병과 같아 보이지만 다른 도형이다.
- 듀오프리즘(Duoprism) : 한 가지 또는 두 가지의 각기둥을 4차원 방향으로 서로 둘러싸도록 접어 얻을 수 있는 4차원 도형이다. 두 각기둥의 밑면의 개수와 꼭짓점 개수에 따라 (p-q 듀오프리즘)으로 표기한다. p,q의 순서는 무관하다.
예를 들면 삼각기둥 5개와 오각기둥 3개를 서로 둘러싸게 접어 만든 듀오프리즘은 3-5 듀오프리즘 또는 5-3 듀오프리즘이다. 이중에서도 4-4 듀오프리즘은 '테서랙트'라고 부른다.
- 프리즈믹 실린더(Prismic Cylinder) : 원기둥 하나와 각기둥 하나를 4차원 방향으로 서로 둘러싸이도록 접어 만들 수 있는 도형이다. 듀오프리즘과 듀오실린더의 중간 형태로 이다.
- 듀오실린더 : 듀오프리즘의 원기둥 버전이다. 두 개의 원기둥을 서로 둘러싸도록 토러스형으로 접어 만들 수 있는 4차원 도형이다. 총 두 개의 토러스형 초입체로 구성되어 있고 면은 한 개이며, 모서리와 꼭짓점은 존재하지 않는다.
- 초구: n차원 곡면으로, (n+1)차원 공간의 특정한 지점에서 같은 거리에 존재하는 점들의 집합이다. 어느 방향으로 잘라도 항상 단면이 구로 나온다.
- 알렉산더의 뿔 달린 구 : 초구와 위상동형인 도형이다. 구 일부를 뿔처럼 늘린 뒤 꼬아놓은 모양과 같다.
- 클라인의 병: 3차원 곡면으로, 뫼비우스의 띠의 4차원 버전이다. 안과 밖이라고 부르는 부분이 따로 존재하지 않는다.
- 사영평면 : 원의 마주보는 점을 빈틈없이 접어 얻을 수 있는 도형이다.
- 쌍각뿔 : 초기둥과 한 쌍을 이루는 쌍대다포체이다.
- 엇각기둥 : 윗입체와 아랫입체가 한 쌍을 이루는 쌍대다포체 관계이다. 옆입체에는 n각뿔 모양과 삼각뿔 모양, 총 2가지 종류가 있다. 윗입체 혹은 아랫입체와 면을 맞닿는 입체는 n각뿔 모양을 하고, 윗입체, 아랫입체와 동시에 모서리만 접하는 입체는 삼각뿔 모양으로 이뤄진다.
- 엇쌍각뿔 : 엇각기둥과 한 쌍을 이루는 쌍대다포체이다.
- 균일 4차원 다포체 : 아르키메데스 다면체의 4차원 버전이다.
- 쌍곡포물입체, 타구포물입체, 타구입체 등[5]
4차원 도형 재현
3차원을 2차원에 완벽히 표현할 수 없으나 3차원의 그림자를 2차원에 투영할 수 있는 것과 같이, 시각적으로 재현한 4차원 도형들은 사실 3차원에 투영된 실제 4차원 도형의 그림자를 구현한 이다. 3차원 공간에 살고 있는 우리는 4차원 도형을 상상하기 힘들며 표현하기는 불가능하기 때문이다. 우리가 알고 있는 4차원 도형들은 실제 모습이 아닌, 모두 3차원 공간의 인간의 상상으로 만들어낸 가상의 도형들이다.[5] 3차원의 정육면체의 각 면은 정사각형으로 이루어져 있으나 2차원의 평면에 그려내면서 실제모습과는 다르게 앞면과 뒷면을 제외하고는 평행사변형으로 표현되는 등 왜곡이 일어난다. 2차원 평면에 3차원을 그리려면 한차원만 확장하면 되기 때문에 약간의 왜곡만이 일어나지만 4차원을 2차원에 그려내는 일은 두개의 차원을 확장하는 것 이기 때문에 더욱 심한 왜곡과 한계가 생긴다.[7]
이러한 상상의 도형을 만들거나 연구하는데는 스케치업이나 쓰리디에스 맥스[3ds max] 같은 3차원프로그램이 어느정도 도움을 준다. 3차원을 2차원 종이에 그림으로 그려 표현하듯 4차원을 3D프로그램에 그려 나타내는 것 이다. 하지만 프로그램을 이용해도 사실 4차원을 3차원 프로그램을 나타내는것을 2차원인 평면 모니터를 통해 보는 것 이기 때문에 그리거나 이해하는데 공간지각능력이 3차원을 넘어 4차원까지 다룰 수 있는 초월적 지각 능력을 가져야 한다. x,y,z 세 가지 축에 하나의 축 a를 추가로 가진 포디 그래퍼(4D Grapher)과 같은 4차원 프로그램이 존재하긴 하지만 사실 4차원의 그림을 그린다기 보다는 4차원 그래프를 분석하기 위한 용도에 더 적합하다.[5]
4차원의 도형을 보다 정확하게 재현하는 방법은 바로 전개도를 이용하는 것이다. 정육면체를 전개해서 2차원 면으로 구성된 전개도를 만들고 다시 1차원인 선끼리 붙여 정육면체를 만드는 방법과 같이 4차원 초입방체에서 접힌 부분을 펴내면 모든 각이 직각을 이룬 8개의 정육면체가 맞붙은 십자가 모양의 전개도가 나온다. 이 전개도를 다시 2차원면끼리 맞붙이면 4차원 초입방체가 된다.[7]
테서랙트
테서렉트는 영국 출신의 수학자 찰스 하워드 힌턴(Charles Howard Hinton)이 1888년 4차원물체의 시각화를 돕기 위해 고안한 개념으로, 듀오 프리즘의 한 종류이며 4차원 초입방체 또는 정팔포체 라고도 한다. 3차원 도형인 정육각형의 전개도를 만들면 2차원의 정사각형으로 구성되어있는것 처럼, 4차원인 테서랙트를 전개도로 만들면 3차원인 정육각형으로 구성되었다. 인간의 감각기관은 4차원 이상을 인지 할 수 없기 때문에 테서랙트를 3차원 공간에 투영된 형태로 인지한다.[10] 따라서 관련 테서랙트의 모습을 보면 실제 모양을 보면 상상하기 힘들지만, 4차원 공간상에서의 테서랙트는 모든 정육면체가 서로 수직이고 각 정육면체의 평면도 직각을 이룬다. 오른쪽의 테서랙트는 4차원 공간 축을 따라 회전하는 테서랙트이다. 3차원 물체 2개가 연결된 채 원운동과 자유변형까지 동시에 하기 때문에 알아보기 힘들지만, 사실 테서랙트의 회전 중에서는 비교적 단순한 형태의 움직임을 구현한것 이다.[7] 한편 테서랙트를 여러 개 활용하면 더 고차원의 도형을 만들 수 있다. 테서랙트10개를 한 모서리당 3개씩 만나도록 연결하면 5차원 도형인 펜터랙트(Penteract)가 만들어진다.[10] 테서랙트가 미지의 영역에 대한 신비로움을 담은 4차원의 상징이 되면서, 테서랙트라는 개념이 발표 된 후 과학뿐만 아니라 여러 인문철학, 예술 등에도 많은 영향을 미쳤다.[11]
4D 프레임
4D 프레임의 사전적 의미는 4차원과 구조‧뼈대‧틀이란 의미인 프레임(frame)의 합성어이며, 실제로는 별다른 의미를 지니지 못하는 한 개체인 0차원의 점이 또 다른 개체와 만남으로써 1차원인 선, 2차원인 면, 그리고 3차원인 면을 통해 표현하고자 하는 생각과 내면의식까지 나타낸다는 4차원 시공간의 의미를 담은 창조적 작품을 만들어내는 창의 교구를 지칭한다.[12] 모든 도형을 이루는 가장 기본 단위를 결합, 연결하여 골격을 이뤄 점차적으로 다양한 다면체와 창조적 작품을 만들 수 있다. 4D프레임은 연결봉과 연결대로 이루어진 크고 작은 빨대 모양의 도구로 이뤄져 있는데, 이를 통해 기계‧전기‧전자‧정보통신‧소프트웨어 등을 상상 속의 4차원 모형물로 만들어낸다.[13] 각도를 0°~360°까지 자유롭게 조정할 수 있으며, 가위만 있으면 연결봉과 연결대를 원하는 길이와 모양으로 자르고 이어서 무엇이든 만들어낼 수 있다. 4차원 도형중 하나인 클라인의 병도 3차원에서 존재할 수 없는 도형이지만, 4D프레임을 이용해 옆면에 구멍을 뚫어 그 모습을 재현해 볼 수 있다.[12] 한국과학창의재단이 2018 우수과학문화상품으로 선정한 ㈜포디랜드·포디수리과학창의연구소의 ‘4D 메카트로닉스(4D Mechatronics)’를 이용하면 소프트웨어 코딩을 연계한 다양한 융합 프로젝트를 진행할 수도 있다.[14] 4D프레임의 교육적 효과는 기본적인 도형의 원리와 입체표현 등 기하학적 성질을 이해하고, 수학적인 추론능력과 공간지각능력 향상에 도움을 준다는 것 인데,[12] 실제로 4D을 통해 학습하면 공간감각과 수학적 창의성 향상에 긍정적인 영향을 미친다는 연구 결과도 있다.[15] 이러한 특징을 가진 4D프레임은 교육현장에서 핫한 아이템이다. 4D프레임은 한국에서 개발되어 단순하면서도 독특한 유연성과 특이성이 인정되어 한국은 물론 중국, 스웨덴, 인도네시아 등 세계 16개국의 유치원생부터 초‧중‧고생에까지 사용되고있다. 중국, 스웨덴과 같은 일부 국가에서는 4D프레임을 교과과정으로 채택했으며, 지역 곳곳에 상설 전시관을 설치하는 등 보급이 확산되고 있다. 2019년에는 국립과천과학관에서 제13회 국제수리과학창의대회가 열려 한국을 비롯한 중국, 스웨덴, 홍콩, 대만, 인도네시아, 필리핀, 몽골, 오만 등 9개국에서 1000여 명의 학생들이 모여 4D프레임을 이용해 과학과 예술을 결합한 상상 속의 구조물을 만드는 국제 행사를 진행하기도 했다.[13]
물리학 관점
예술
20세기 초 4차원 공간의 개념은 다양한 방법을 통해 전달되었다. 4차원은 수학, 공상 과학,
영화
인터스텔라
플릿랜드
그림
널리 알려진 화가 중 많은 이들이 수학을 활용해 자신의 예술세계를 보여준다. 20세기 초의 입체파, 미래파, 초현실주의의 예술가들은 3차원의 현실적인 표현을 넘어 4차원의 시각적 해석으로 이동하며 2차원 작품에서 4차원을 전달하려고 시도했다. 이를통해 예술가들은 어떠한 대상을 현실 세계에서는 일반적으로 동시에 볼 수 없었던 다른 관점으로 작품에 표현해냈다. 주로 4차원 도형을 3차원에 사영하는 방식을 이용했다.[16] 그중 4차원을 대표적인 사람으로는 피카소, 마르셀 뒤샹, 살바도르 달리, 맥스 웨버가 있다.
파블로 피카소
스페인의 예술가인 파블로 피카소(Pablo Picasso)는 우주와 자연에 대해 배우고 토론하던 가운데 수학, 물리학, 철학, 심리학에 큰 업적을 남긴 푸앵카레(Poincaré)의 '과학과 가정'이라는 책을 접하고 세상을 새로운 시각에 대한 깨달음을 얻었다고 한다.[17] 이 책은 푸앵카레의 4차원 기하학의 일부를 쉽게 풀어내고 4차원의 다면체들이 소개되어있다. 피카소가 이 책을 참고하여 자신의 작품세계를 구축했다는 것은 그의 대표작인 '아비뇽의 처녀들(Les Demoiselles d'Avignon)'을 그리기 위한 스케치에서 찾아볼 수 있다. 스케치뿐만 아니라 작품결과에서도 4차원 도영의 사영에서 아이디어를 얻었음을 추측할 수 있는 여러 표식들을 볼 수 있다.[18]
마르셀 뒤샹
마르셀 뒤샹(Marcel Duchamp)은 프랑스의 예술가로, 다다이즘과 초현실주의와 관련된 작품을 많이 남겼다. 뒤샹은 에드윈 에보트(Edwin Abbott)의 소설인 '플랫 랜드: 다타원의 로맨스'에서 언급된 "4차원의 그림자는 곧 3차원의 물체들"이라는 구절에서 모티브를 얻어 4차원을 표현한 작품들을 만들어냈다. 그의 작품 '기차 속의 슬픈 젊은 남자(Sad Young Man in a Train)'에서는 서로 일치하는 기차와 슬픈 젊은 남자의 복도에서의 움직임은 서로 평행을 이루고 있는 선의 요소를 사용하여 왜곡시켰다. 이러한 과정을 그의 또 다른 작품인 '계단을 내려오는 누드(Nude Descending a Staircase)'에서도 이 방법을 사용했다.[19] 이 작품은 누드에 잉크를 채워 계단 아래로 연속적으로 끌어내리기라도 한 것처럼 연속 동작과 같은 느낌을 줘 전체 움직임을 한눈에 볼 수 있다.[7]
맥스 웨버
미국 화가인 맥스 웨버(Max Weber)는 초기 입체파 화가이다. 그는 조형예술에는 모든 방향에서 한번에 압도적인 공간 규모의 인식으로 묘사될 수 있는 4차원이 존재한다고 말했다.[20] 그의 작품 '4차원의 내부(Interior of the Fourth Dimension)'에는 우리가 알 수 없는 4차원의 이상한 세계가 표현되어있다.[7]
살바도르 달리
스페인의 초현실주의 화가인 살바도르 달리(Salvador Dalí)의 작품인 '십자가에 못 박힌 예수, 초입방체(Corpus Hypercubus)'에는 그의 4차원의 예술적 해석이 잘 드러난다. 이 작품에서 4차원은 십자가의 사영으로서 나타나는데, 여기에 테서랙트의 전개도가 사용되었다.[18] 예수가 처형되는 곳을 3차원의 십자가가 아닌 테서랙트로 표현함으로서 우리가 사는 세계를 초월하는 존재를 나타내 심오한 철학작품과 같은 감동을 준다.[11]
만화
극한의 별
극한의 별은 일본의 야마다 요시히로(山田芳裕)가 그린 공상과학 만화이다. 편찬당시인 2001년을 기준으로 먼 미래인 2019년에 인류가 최포로 화성에 착륙성공하는것을 소재로 한다. 화성에 첫 발을 내딛은 등장인물은 갑자기 나타난 정체불명의 물체에 의에 착륙선이 박살나고 동료들을 잃게 되는데, 여기서 등장하는 정체불명의 물체가 바로 4차원 테서랙트이다. 만화에서는 테서랙트의 그림자도 등장하는데, 4차원존재이기 때문에 그림자도 3차원 입체로 표현되어있다. 3차원에 사는 인간보다 고차원의 존재인 테서랙트를 인간의 눈으로는 길이와 부피, 넓이가 합쳐진 입체 모형만 볼 수 있다는점을 이용하여 이야기가 전개된다. 고차원 존재인 테서랙트는 만화에서 3차원에 존재한 길이 넓이 부피의 상식을 뛰어넘어 크기와 위치, 모양을 자유자재로 바꿔가며 주인공을 농락한다. 3차원에 사는 인간이 2차원인 평면도면가 담긴 있는 종이를 쉽게 뒤집을 수 있다는 점을 반영한 것이다. 주인공은 이러한 행위에 증오심을 품어 최후의 발악을 하지만 결국 실패하고 만다.[21]
영화관
씨지브이(CGV)
롯데시네마
엠엑스포디(MX4D)
각주
- ↑ 〈4차원 (r20210301판)〉, 《더위키》
- ↑ 2.0 2.1 〈공간〉,《위키백과》
- ↑ 〈유클리드 공간〉, 《위키백과》
- ↑ 〈4차원〉, 《위키백과》
- ↑ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 〈4차원〉, 《나무위키》
- ↑ 이광연, 〈4차원 세계의 모습〉, 《네이버 지식백과》, 2009-01-13
- ↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 〈4차원 입체도형〉, 《네이버 지식백과》
- ↑ 〈4차원 정다포체〉, 《위키백과》
- ↑ Lee Sunggil, 〈수학story (7) 4차원 토러스(torus)〉, 《광고. 그이상의 가치》, 2016-07-30
- ↑ 10.0 10.1 〈테서랙트〉, 《나무위키》
- ↑ 11.0 11.1 이과, 〈차원은 무엇인가? - 4차원 입체도형 테세락 (Tesseract)〉, 《네이버 블로그》, 2015-03-07
- ↑ 12.0 12.1 12.2 〈4D프레임〉, 《4D프레임》
- ↑ 13.0 13.1 이강봉 객원기자, 〈4D 프레임 인재, 한국에 다 모였다〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
- ↑ 김청한 객원기자, 〈융합인재 양성의 비결 ‘4D 프레임’〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
- ↑ 이주용, 최재호 〈4D 프레임 활용 학습이 초등 수학영재학생의 공간감각 및 수학적 창의성에 미치는 영향〉, 《사이언스온》
- ↑ 〈예술가들이 4 차원을 묘사 한 방법〉, 《greenlane》, 2018-01-15
- ↑ 박주용 KAIST 문화기술대학원 교수, 〈(IT과학칼럼) 아인슈타인·피카소의4차원적 상상력〉, 《헤럴드경제》, 2020-05-21
- ↑ 18.0 18.1 소고, 〈[1] 차원에 대하여〉, 《brunch》, 2016-07-05
- ↑ Patrick, 〈마르셀 뒤샹 초기 작품〉, 《네이버 블로그》, 2018-12-26
- ↑ 〈예술의 4차원〉, 《HiSoUR》
- ↑ Heathcliff, 〈Tesseract〉, 《네이버 블로그》, 2011-04-02
참고자료
- 〈4차원 (r20210301판)〉, 《더위키》
- 〈공간〉,《위키백과》
- 〈유클리드 공간〉, 《위키백과》
- 〈4차원〉, 《나무위키》
- 〈4차원〉, 《위키백과》
- 이광연, 〈4차원 세계의 모습〉, 《네이버 지식백과》, 2009-01-13
- 〈4차원 정다포체〉, 《위키백과》
- Lee Sunggil, 〈수학story (7) 4차원 토러스(torus)〉, 《광고. 그이상의 가치》, 2016-07-30
- 〈테서랙트〉, 《나무위키》
- 이강봉 객원기자, 〈4D 프레임 인재, 한국에 다 모였다〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
- 〈4D프레임〉, 《4D프레임》
- 김청한 객원기자, 〈융합인재 양성의 비결 ‘4D 프레임’〉, 《사이언스 타임즈》, 2019-10-21
- 이주용, 최재호 〈4D 프레임 활용 학습이 초등 수학영재학생의 공간감각 및 수학적 창의성에 미치는 영향〉, 《사이언스온》
- 〈예술가들이 4 차원을 묘사 한 방법〉, 《greenlane》, 2018-01-15
- 박주용 KAIST 문화기술대학원 교수, 〈(IT과학칼럼) 아인슈타인·피카소의4차원적 상상력〉, 《헤럴드경제》, 2020-05-21
- 소고, 〈[2] 차원에 대하여〉, 《brunch》, 2016-07-05
- Heathcliff, 〈Tesseract〉, 《네이버 블로그》, 2011-04-02
- 〈예술의 4차원〉, 《HiSoUR》
- 이과, 〈차원은 무엇인가? - 4차원 입체도형 테세락 (Tesseract)〉, 《네이버 블로그》, 2015-03-07
- Patrick, 〈마르셀 뒤샹 초기 작품〉, 《네이버 블로그》, 2018-12-26
- 〈4차원 입체도형〉, 《네이버 지식백과》
같이 보기
