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차원
차원(dimension)은 수학에서 공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수이다.
목차
개요
3차원은 위치를 말하기 위해 필요한 세 가지인 가로, 세로, 높이이다. 1차원 공간은 직선이며, 이 직선상의 한 점의 위치는 기준점으로부터 x 하나로 효시할 수 있는데 이를 좌표라고 한다. 2차원 공간은 평면이며, 평면 위의 한 점의 위치는 (x. y)의 두 개의 실수로 표현할 수 있다. 3차원 공간은 우리가 일상적으로 경험하는 입체 공간이고 이 공간에서의 한 점의 위치는 (x, y, z)의 세 개의 실수로 표현할 수 있다. 4차원은 보통 상대성이론에 나오는 시공간(spacetime)을 일컫는다.[1] 일반적으로 하나의 공간 속에서 독립적으로 취할 수 있는 좌표축의 최대수가 그 공간의 차원을 나타낸다.
수학적 차원
차원이란 말은 원래 수학에서 유래되었는데, 수학에서 말하는 차원은 공간이나 도형이 넓어지는 정도를 나타내는 개념이다. 이런 의미의 차원의 개념은 기원전부터 있었다. 기하학의 시조라 불리는 고대 그리스 수학자인 유클리드는 자신이 저술한 기하학 원론에서 점, 선, 면, 입체의 정의를 내렸다. 점은 부분을 갖지 않는 것이고, 선이란 폭이 없는 길이이며, 면이란 길이와 폭만 가진 것이고, 입체란 길이와 폭과 높이를 가진 것이라고 했다. 프랑스의 철학자 데카르트는 차원은 한 점의 위치를 정하기 위해 필요한 수치의 개수라고 했다. 선 위의 한 점의 위치를 정할 때 기준점에서 거리에 해당하는 1개의 수가 필요하므로 곧 선은 1차원이다. 하지만 면에서 한 점의 위치를 정할 때 두 개의 수치가 필요하므로 면은 2차원인 것이다. 평면이 아닌 지구의 표면의 경우도 경도와 위도라는 2개의 수치로 위치를 특정할 수 있으므로 2차원이다. 하늘을 나는 비행기를 생각했을 때, 비행기의 위치는 위도와 경도를 포함해 높이의 정보가 필요하다. 즉, 위도, 경도, 높이라는 3개의 수치를 사용해야 비행기의 위치를 알 수 있다. 적절한 좌표를 설정해 기준을 잡으면 공간에 존재하는 모든 사물의 위치를 특정할 수 있으므로, 이런 점에서 볼 때 살고 있는 공간은 3차원이다.
유클리드
유클리드는 차원이라는 용어를 사용하여 길이·폭·깊이라는 사물의 성질에 수학적 의미를 부여했다. 유클리드 기하학에서 직선은 전형적인 일차원적 사물로 정의되는데, 이는 직선이 길이라는 단 하나의 성질을 갖고 있기 때문이다. 같은 방식으로 길이와 폭이라는 성질을 갖고 있는 평면은 이차원적 사물의 전형이며, 길이·폭·깊이를 모두 갖고 있는 입체는 3차원적 사물의 전형이다. 이렇게 유클리드 시대의 수학은 3차원 세계에 대한 고래 그리스인들의 생각을 수학적으로 뒷받침하였다.[2] 수학에서 유클리드 공간은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이 그리고 각도를 좌표계에 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이 표준적인 유한자원, 실수, 내적공간이다. 직선은 1차원 유클리드 공간, 평면은 2차원 유클리드 공간, 공간은 3차원 유클리드 공간이다. 경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서 피타고라스 정의에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.
유클리드 기하학의 공준
- 어떤 한 점에서 어떤 다른 한 점으로 선분을 그릴 수 있다.
- 임의의 선분을 선을 따라 다른 선분으로 연장할 수 있다.
- 어떤 한 점을 중심으로 하고 이에 대한 거리(반지름)로 하나의 원을 그릴 수 있따.
- 모든 직각은 서로 같다.
- 평행선 공준 : 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180도)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2 직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.
유클리드 공간
음이 아닌 정수 n = 0, 1, 2, ...에 대하여, n차원 유클리드 공간 Rⁿ은 집합으로서 실수 집합 R의 n번 곱집합이다. 이 위에 내적을 정의하면 Rⁿ은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라서 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.또한 자명한 좌표근방계를 주어 매끄러운 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이 경우 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치한다.[3]
유클리드 벡터
수학, 물리학, 공학에서 유클리드 벡터 또는 벡터는 벡터의 특수한 경우로 유클리드 공간에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상이다. 주로 유향 선분 또는 화살표로 표현한다. 주로 힘이나 자기장, 전기장, 변위와 같이 방향과 크기를 둘 다 가지는 물리적 개념을 설명할 때 이용된다. 물리적 현상을 나타낼 때는 주로 2차원 또는 3차원 벡터량을 쓴다. 스칼라량은 단지 하나의 크기만을 표현할 수 있지만 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. x축의 단위벡터인 e₁방향과 y축의 단위벡터인 e₂방향과 각각의 크기인 a, b를 나타내는 2차원 벡터 (a, b) 와, 여기에 z축의 단위벡터인 e₃과 크기인 c를 나타내면 3차원 벡터 (a, b, c) 를 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연현상에 대해 배우는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다.
데카르트
근대에 들어 프랑스의 수학자 데크르트는 유클리드와 다른 방식으로 기하학에 접근했다. 대상의 길이·폭·깊이가 아닌 좌표라는 추상적 수치 체계를 도입한 것이다. 그에 따르면 어떤 사물의 차원은 그것을 나타내기 위해 필요한 좌표의 개수와 상관관계가 있다. 예를 들어 하나의 선은 오직 하나의 좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로 일차원이며, 두 개의 좌표를 써서 나타낼 수 있는 평면은 이차원이다. 같은 방법으로 입체가 삼차원인 이유는 이를 나타내기 위하여 세 개의 좌표가 필요하기 때문이다. 유클리드의 차원이 감각적인 대상의 특성에 기반한다는 점에서 질적이라고 한다면, 데카르트의 차원은 추상적인 수치에 기반한다는 점에서 양적이었다. 그는 사차원의 가능성을 모색해 보다가 결국 스스로 포기하고 말았는데, 눈으로 보여줄 수 없는 것의 존재 가능성을 인정하지 않으려 했던 당시 수학자들의 저항을 극복하지 못했기 때문이다.[2]
리만
4차원의 개념이 인정을 받은 것은 19세기 독일의 수학자 리만에 이르러서였다. 리만은 데카르트의 좌표에 대한 정의를 활용해 0차원에서 무한대의 차원까지 기 술할 수 있다는 점을 입증하였다. 리만에 따르면 감지할 수 있는 공간에서만 수학적 차원을 언급할 필요가 없었는데 단지 순수하게 논리적으로 개념적 공간을 언급할 수 있으면 족하다. 리만은 이를 다양체(Mainfold)라는 개념 속에 포괄하였다. 다양체는 그것을 결정하는 요인의 개수만큼의차원을 갖게 된다. 헤아릴 수 없이 많은 요인들이 작용하여 이루어지는 어떤 대상이나 영역이 있다면 그것은 무한 차원에 가까운 다양체라고 할 수 있다.[2]
차원에 따른 차이
1차원에는 길이라는 정보 외에는 다른 정보가 없다. 반면 2차원의 세계에는 삼각형이나 사각형, 원이나 타원 등 1차원에는 없는 다양한 형태가 등장한다. 각도나 회전이라는 말도 2차원에서 비로소 그 의미를 지닌다. 2차원의 세계에서 다양한 도형이 존재하는 것처럼 3차원의 세계에서는 다양한 입체가 존재하는 특징을 지니게 된다. 2차원에서는 입체라는 것을 상상할 수 가 없다. 2차원에 없는 3차춴만의 독특한 특징 중 하나는 도넛 모양과 같이 뚫린 구멍을 가진 입체를 가지는 것이다. 3차원이 가진 뚫린 구멍을 가질 수 있다는 특징은 우리 인간에게 매우 중요하다. 인간의 몸도 뚫린 구멍을 가진 입체이기 때문이다. 뚫린 구멍이란 입에서 항문으로 이어지는 소화관을 말한다. 2차원에서 몸을 관총하도록 구멍이 뚫려있다면 그것에 의해 몸 전체가 둘로 갈라져 살 수 없었을 것이다.
물리학에서의 차원
끈이론 초끈이론 M이론
각주
참고자료
- 〈차원〉, 《네이버 지식백과》
- 마크의 지식서재, 〈차원이란 무엇인가〉, 개인 블로그, 2020-03-25
- 교무부, 〈차원이란 무엇인가?〉, 《대순회보》, 2019-08
- 〈유클리드 공간〉, 《WIKIDECK》
- 구거투스, 〈차원에 대한 이론 발전 과정(2009, 고3, 3월〉, 《개인 블로그》, 2018-04-02
- 〈[]〉, 《》
같이 보기
