관성모멘트

관성모멘트(Moment of inertia)는 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량으로써, 직선 운동에서의 질량에 대응되는 양이다. 기호는 통상적으로 라틴 대문자 I이며, 간혹 J로 나타내기도 한다. 관성모멘트는 회전운동에서 매우 중요한 역할을 차지하는데, 관성모멘트를 통해서 회전운동을 기술하는 데 꼭 필요한 각운동량, 각속도, 각가속도, 돌림힘들 사이의 관계를 이어주는 물리량이기 때문이다.

관성모멘트를 표현하는 방법에는 두가지, 스칼라로 나타내는 스칼라 관성 모멘트와 더 고등의 텐서로 나타내는 관성모멘트 텐서, 간단히 관성 텐서(inertia tensor)를 사용한 표현이 있다. 보통 스칼라 관성모멘트를 간단히 관성 모멘트라 하기도 한다. 간단한 회전의 경우에는 복잡한 관성 텐서보다 스칼라 관성 모멘트만으로도 각 물리량 사이의 관계를 충분히 기술할 수 있다. 하지만 스칼라 관성 모멘트는 회전하는 팽이나 자이로스코프와 같이 복잡한 회전에 대한 물리량 사이의 관계를 기술하지 못하기 때문에, 이러한 경우에는 관성 텐서를 사용해 각 물리량 사이의 관계를 기술한다.

최초로 관성모멘트란 개념을 사용한 사람은 레온하르트 오일러이다. 그가 1730년에 발표한 책 《고체 또는 강체의 운동론》에서 관성모멘트란 개념이 처음으로 등장하고 모멘트의 주축과 같은 이와 관련된 여러 개념들이 이 책을 통해 발표되었다.

개요

물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.

어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, F=ma 로 나타낼 수 있다.

이는 힘 F가 주어지면, 계는 가속도 a로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 'm은 물체가 힘에 '저항'하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.

여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성모멘트이다.

이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 F=ma 를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도 간의 관계는 τ=Iα로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.

정의

회전 운동 에너지로부터의 도출

관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.

n 개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 ω로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 Tr는 각 질점의 운동 에너지의 합과 같다. 이때, i번째 질점의 선속도를 Vi 라 놓으면,

그런데 Vi ∙ Vi = vi²= (ri⍵)²이므로

이 된다. 이때, 가운데 term

를 관성모멘트라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.

참고자료

• 〈관성 모멘트〉, 《나무위키》
• 〈관성 모멘트〉, 《위키백과》

같이 보기

• 회전운동
• 각속도
• 각가속도
• 각운동량

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