의 크기는 질량과 거리에 관계없이 항상 같다. G는 중력상수이다.
만유인력의 법칙(萬有引力法則, law of universal gravity)은 질량을 가진 물체 사이의 중력끌림을 기술하는 물리학 법칙이다. 이 법칙은 아이작 뉴턴의 1687년 발표 논문 〈자연철학의 수학적 원리, 혹은 프린키피아(Principia)〉를 통해 처음 소개된 법칙이다.
현대의 용어를 사용하여 만유인력의 법칙을 기술하자면 다음과 같다.
모든 점질량은 두 점을 가로지르는 선을 따라 다른 모든 점질량을 힘으로 끌어 당긴다. 이 힘은 두 상호작용하는 점질량 사이의 질량의 곱에 비례하며, 두 점질량 사이의 거리에는 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
F = G ∙ m₁m₂/r²
여기서
- F : 두 점질량 간의 중력의 크기
- G : 중력 상수,
- m₁ : 첫 번째 점질량의 질량
- m₂ : 두 번째 점질량의 질량
- r : 두 점질량의 거리
뉴턴은 이 법칙을 그의 운동의 제2법칙에 넣어 행성의 가속도를 구할 수 있었고, 이를 통해 행성의 궤도가 타원형임을 증명할 수 있었다. 더욱이 뉴턴은 중력이 행성의 진로 뿐만 아니라, 달의 세차 운동, 혜성의 운동, 은하수의 생성 및 빛의 굴절 등에도 적용되는 매우 일반적인 힘의 하나임을 인식하였다. 이것이 바로 뉴턴이 중력을 만유인력(universal force)라 부르게 된 이유이다.
벡터 형태[편집]
뉴턴의 만유인력의 법칙의 벡터 형태의 도식화. 여기서 O는 임의의 원점이다.
뉴턴의 만유인력의 법칙은 중력의 크기뿐만 아니라 방향까지 고려하기 위해 벡터로 나타내면 다음과 같은 벡터 방정식이 된다.
여기서,
F₁₂: 물체 1이 물체 2에 가하는 힘
G : 중력 상수
m₁, m₂ : 물체 1과 2의 질량
|r₁₂| = |r₂ - r₁| : 물체 1로부터 2까지의 거리
점질량이 아닌 경우[편집]
엄밀히 말하자면, 위의 식들은 점질량에 대해서만 적용이 가능하다. 하지만 중력장이 선형장, 즉 특정 위치에서의 중력의 합력은 다른 질량에 의한 중력을 모두 합하면 된다고 보면, 이를 구할 수 있다. 밀도 ρ₁를 갖는 임의의 질량 분포가 점질량 m₂에 미치는 중력을 구해 보면
가 된다. 여기서 r'은 임의의 원점으로부터의 방향 벡터, dv'은 그 위치의 임의의 부피요소를 말한다.
임의의 두 질량 분포 사이의 중력의 경우, 위와 비슷하게, 어느 한 임의의 부피요소에 미치는 중력의 크기를 위의 식을 통해 구하고, 다시 이를 적분하면 중력을 구할 수 있지만 몇몇 특정한 경우를 제외하면 매우 복잡한 계산을 필요로 한다.
역제곱의 법칙[편집]
역제곱의 법칙, S에서부터 거리가 멀어질수록, 단위 면적을 지나가는 선의 개수가 줄어든다. 이때 줄어드는 비율은 거리의 제곱에 반비례한다.
만유인력의 가장 큰 특징은 중력이 두 물체 사이 거리의 제곱에 반비례한다는 점이다. 물리학에서는 이처럼 어떤 물리량이 거리의 제곱이 반비례하는 경우가 간혹 있는데, 이를 역제곱의 법칙(inverse square law)이라고 부른다. 뉴턴은 [프린키피아] 1권에서 행성이 역제곱의 힘을 받는다는 가정하에 케플러의 세 가지 법칙을 유도했다. 또한 힘이 정확하게 거리의 제곱에 반비례하면 그 궤도는 닫힌 궤도임을 쉽게 보일 수 있다.
그렇다면 중력은 왜 거리의 제곱에 반비례할까? 중력을 직관적으로 이해하기 위해서 우선 큼직하고 둥근 사과를 하나 준비하자. 이 사과의 중심을 향해 가늘고 기다란 바늘을 여러 개 꽂는다. 바늘은 최대한 많이, 사과 표면에 고루 꽂을수록 좋다. 단, 모든 바늘은 사과의 중심을 향하도록 꽂아야 한다. 아마도 여러분의 사과는 고슴도치가 바늘을 곧추세우고 자기 몸을 둥그렇게 만 것과 비슷해 보일 것이다.
사과를 지구라고 생각하면, 지구가 자기 주변에 미치는 중력은 여러분이 꽂은 바늘과 같이 사방으로 뻗어나간다. 그래서 바늘이 촘촘할수록 중력은 더 세진다. 만약 여러분이 지구가 아닌 달의 중력을 표현하려고 한다면 바늘의 개수를 1/6로 줄이면 된다. (달의 반지름은 지구의 약 27%, 질량은 1.2%이므로 만유인력의 법칙을 이용하면 달 표면에서의 중력은 지구 표면에서보다 1/6의 값을 갖는다.)
이제 사과보다 두 배 정도 되는 투명한 공이 바늘이 꽂힌 사과를 감싸고 있다고 생각해 보자. 투명구와 사과의 중심을 잘 맞추면 사과에 꽂힌 바늘은 투명구를 뚫고 여전히 방사형으로 뻗어나갈 것이다. 그러나 사과 표면과 투명구의 표면을 비교하면 한 가지 다른 점이 있다.즉, 바늘이 사과 표면에 훨씬 더 촘촘히 박혀있다. 이것을 좀 더 정량적으로 말하자면, 사과 표면의 단위면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수는 투명구 표면의 단위면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수보다 많다. 그러니까, 사과 표면에서의 중력이 투명구 표면에서의 중력보다 더 세다. 그리고 바늘이 많은 정도는 정확하게 사과 표면의 넓이가 투명구의 표면적보다 작은 정도이다. 투명구는 사과보다 반지름이 두 배가 크기 때문에 그 표면적은 네 배 넓다. 달리 말하면 같은 넓이를 뚫고 지나가는 바늘의 개수는 네 배 적다. 이로부터 우리는 중심에서 두 배 멀어지면 중력은 네 배 줄어듦을 알 수 있다. 이것이 바로 역제곱의 법칙이다.
참고자료[편집]
같이 보기[편집]
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