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평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. | 평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. | ||
| − | 질량이 '''''M'''''인 질점계의 질량중심을 '''CM'''이라 하고, 그 점에서 수직으로 지나가는 회전축 '''I'''에서 측정된 계의 관성 모멘트를 '''Icm''' 이라 하자. 또, 계에서 ''i''번째 질점을 ''mi'' 라 놓고, 회전축 '''I'''를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 '''r′i''' 라 하면, | + | 질량이 '''''M''''' 인 질점계의 질량중심을 '''CM'''이라 하고, 그 점에서 수직으로 지나가는 회전축 '''I''' 에서 측정된 계의 관성 모멘트를 '''Icm''' 이라 하자. 또, 계에서 ''i'' 번째 질점을 ''mi'' 라 놓고, 회전축 '''I'''를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 '''r′i''' 라 하면, |
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| − | 이때, 축을 '''CM'''으로부터 '''a'''만큼 평행이동한 회전축 '''II'''에서 측정된 관성 모멘트를 '''''I''p''' 라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는''' R′i = r′i −a '''가 된다. 따라서 | + | 이때, 축을 '''CM'''으로부터 '''a'''만큼 평행이동한 회전축 '''II''' 에서 측정된 관성 모멘트를 '''''I''p''' 라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는''' R′i = r′i −a ''' 가 된다. 따라서 |
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| − | '''a'''는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제 33항은 질량중심을 나타내는 벡터와 관련된 것인데, '''r ′i''' 이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제 33항은 00이 된다. 따라서 | + | '''a''' 는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제 33항은 질량중심을 나타내는 벡터와 관련된 것인데, '''r ′i''' 이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제 33항은 00이 된다. 따라서 |
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2021년 10월 19일 (화) 15:19 판
관성모멘트(Moment of inertia)는 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량으로써, 직선 운동에서의 질량에 대응되는 양이다. 기호는 통상적으로 라틴 대문자 I이며, 간혹 J로 나타내기도 한다. 관성모멘트는 회전운동에서 매우 중요한 역할을 차지하는데, 관성모멘트를 통해서 회전운동을 기술하는 데 꼭 필요한 각운동량, 각속도, 각가속도, 돌림힘들 사이의 관계를 이어주는 물리량이기 때문이다.
관성모멘트를 표현하는 방법에는 두가지, 스칼라로 나타내는 스칼라 관성 모멘트와 더 고등의 텐서로 나타내는 관성모멘트 텐서, 간단히 관성 텐서(inertia tensor)를 사용한 표현이 있다. 보통 스칼라 관성모멘트를 간단히 관성 모멘트라 하기도 한다. 간단한 회전의 경우에는 복잡한 관성 텐서보다 스칼라 관성 모멘트만으로도 각 물리량 사이의 관계를 충분히 기술할 수 있다. 하지만 스칼라 관성 모멘트는 회전하는 팽이나 자이로스코프와 같이 복잡한 회전에 대한 물리량 사이의 관계를 기술하지 못하기 때문에, 이러한 경우에는 관성 텐서를 사용해 각 물리량 사이의 관계를 기술한다.
최초로 관성모멘트란 개념을 사용한 사람은 레온하르트 오일러이다. 그가 1730년에 발표한 책 《고체 또는 강체의 운동론》에서 관성모멘트란 개념이 처음으로 등장하고 모멘트의 주축과 같은 이와 관련된 여러 개념들이 이 책을 통해 발표되었다.
목차
개요
물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, F=ma 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 F가 주어지면, 계는 가속도 a로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 m은 물체가 힘에 '저항'하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성모멘트이다.
이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 F=ma 를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도 간의 관계는 τ=Iα로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
정의
회전 운동 에너지로부터의 도출
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.
n 개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 ω 로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 Tr 는 각 질점의 운동 에너지의 합과 같다. 이때, i 번째 질점의 선속도를 Vi 라 놓으면,
그런데 Vi ∙ Vi = vi²= (ri⍵)² 이므로
이 된다. 이때, 가운데 term
를 관성모멘트라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.
종합
회전축으로 부터 떨어진 거리가 r 인 점질량 m 이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
I = mr²
이때, 같은 축으로부터 n 개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포함에 따라 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우에는 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로 부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 dI=r²dm 이 된다. 이때, r 에서의 밀도 ρ(r) 를 도입하면, 미소 질량 dm=ρ(r)dV로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 dI=ρ(r)r²dV 로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
로 쓸 수 있다. 오른쪽 그림을 참고하면 좋다.
그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 σ(r) 나 얇은 줄 등 선밀도 λ(r) 를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
이때, da, dl 은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.
단위는 차원 분석 시 [Mass][Length]²가 나오므로 kg⋅m²가 된다.
관성모멘트 목록
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.
아래의 모든 강체의 질량은 M 이며, 밀도는 균일하다.
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트는 알려져 있다.
관련 정리
평행축 정리
평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 M 인 질점계의 질량중심을 CM이라 하고, 그 점에서 수직으로 지나가는 회전축 I 에서 측정된 계의 관성 모멘트를 Icm 이라 하자. 또, 계에서 i 번째 질점을 mi 라 놓고, 회전축 I를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 r′i 라 하면,
이때, 축을 CM으로부터 a만큼 평행이동한 회전축 II 에서 측정된 관성 모멘트를 Ip 라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 R′i = r′i −a 가 된다. 따라서
가 되고, 모든 항을 전개하면,
a 는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제 33항은 질량중심을 나타내는 벡터와 관련된 것인데, r ′i 이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제 33항은 00이 된다. 따라서
이고, 제1항은 위에서 구했던 Icm 이고, 제2항의 으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다.
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
수직축 정리
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. xy평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해, 서로 수직한 세개의 축을 각각 x, y, z축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 Iₓ, Iy, Iz 라 하자. 이때, 각 축에 대한 i번째 질점까지의 거리를 rix, riy, riz 라 놓으면, n개의 질점계에 대해
이고, 피타고라스 정리에 의해 r²iz = r ²ix + r ²iy 이므로 다음이 성립한다.
이때,
임에 따라 다음의 수직축 정리를 얻는다. Iz = Ix + Iy
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
관성 텐서
어떤 물체에 대한 스칼라 관성 모멘트는 회전축에 관계되는 값이다. 때문에 같은 물체일지라 하더라도 회전축이 달라지면 관성 모멘트의 값이 바뀌게 된다. 게다가 회전축이 계속 변하면 이를 기술하기 더욱 어렵게 된다. 일반적으로, 모든 경우에 대해 전부 관성 모멘트의 값이 같으려면, 모든 축에 대해 물체가 대칭이 되어야 한다. 하지만 관성 모멘트 텐서 (또는 관성 텐서)를 사용하면 이를 하나로 간단히 나타낼 수 있다. 관성 텐서는 아무 기준점에 대해서나 계산할 수 있지만, 주로 질량중심을 기준으로 해서 계산된 것이 주로 쓰인다.
정의
관성 텐서 I는 계수가 2인 대칭 텐서, 즉, 2차 대칭 텐서로 점질량 mk들로 구성된 강체의 경우 관성 텐서의 직교좌표계에서의 성분은 다음과 같이 정의한다.
여기서
i, j : x, y, 또는 z좌표를 나타내는 지표, 순서대로 1, 2, 3에 대응된다.
rk : 어떤 기준점으로부터 k번째 점질량까지의 방향 벡터.
δij : 크로네커 델타
이다. 대각항은 아래와 같이 간단히 쓸 수도 있다.
관성의 곱(products of inertia)이라 불리기도 하는 비대각항들은 아래와 같이 쓰기도 한다.
여기서 Ixx는 x축을 기준으로 하며 x축을 중심으로 회전하는 경우의 관성 모멘트, Ixy는 y축을 기준으로 하며 x축을 중심으로 회전하는 경우의 관성 모멘트 등등을 말한다.
참고자료
같이 보기
