만유인력의 법칙

만유인력의 법칙(萬有引力法則, law of universal gravity)은 질량을 가진 물체사이의 중력끌림을 기술하는 물리학 법칙이다. 이 법칙은 아이작 뉴턴의 1687년 발표 논문 〈자연철학의 수학적 원리, 혹은 프린키피아(Principia)〉를 통해 처음 소개된 법칙이다. 현대의 용어를 사용하여 이 법칙을 기술하자면 다음과 같다.

모든 점질량은 두 점을 가로지르는 선을 따라 다른 모든 점질량을 힘으로 끌어 당긴다. 이 힘은 두 상호작용하는 점질량 사이의 질량의 곱에 비례하며, 두 점질량 사이의 거리에는 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

F = G ∙ m₁m₂/r²

여기서

• F : 두 점질량 간의 중력의 크기
• G : 중력 상수,
• m₁ : 첫 번째 점질량의 질량
• m₂ : 두 번째 점질량의 질량
• r : 두 점질량의 거리

뉴턴은 이 법칙을 그의 운동의 제2법칙에 넣어 행성의 가속도를 구할 수 있었고, 이를 통해 행성의 궤도가 타원형임을 증명할 수 있었다. 더욱이 뉴턴은 중력이 행성의 진로 뿐만 아니라, 달의 세차 운동, 혜성의 운동, 은하수의 생성 및 빛의 굴절 등에도 적용되는 매우 일반적인 힘의 하나임을 인식하였다. 이것이 바로 뉴턴이 중력을 만유인력(universal force)라 부르게 된 이유이다.

벡터 형태

뉴턴의 만유인력의 법칙의 벡터 형태의 도식화. 여기서 O는 임의의 원점이다.

뉴턴의 만유인력의 법칙은 중력의 크기뿐만 아니라 방향까지 고려하기 위해 벡터로 나타내면 다음과 같은 벡터 방정식이 된다.

여기서,

F₁₂: 물체 1이 물체 2에 가하는 힘

G  : 중력 상수

m₁, m₂ : 물체 1과 2의 질량

|r₁₂| = |r₂ - r₁|  : 물체 1로부터 2까지의 거리

물체 1로부터 물체 2를 가리키는 단위 벡터

점질량이 아닌 경우

엄밀히 말하자면, 위의 식들은 점질량에 대해서만 적용이 가능하다. 하지만 중력장이 선형장, 즉 특정 위치에서의 중력의 합력은 다른 질량에 의한 중력을 모두 합하면 된다고 보면, 이를 구할 수 있다. 밀도 ρ₁를 갖는 임의의 질량 분포가 점질량 m₂에 미치는 중력을 구해 보면

가 된다. 여기서 r'은 임의의 원점으로부터의 방향 벡터, dv'은 그 위치의 임의의 부피요소를 말한다.

임의의 두 질량 분포 사이의 중력의 경우, 위와 비슷하게, 어느 한 임의의 부피요소에 미치는 중력의 크기를 위의 식을 통해 구하고, 다시 이를 적분하면 중력을 구할 수 있지만 몇몇 특정한 경우를 제외하면 매우 복잡한 계산을 필요로 한다.

참고자료

• 〈만유인력의 법칙〉, 《위키백과》
• 〈만유인력의 법칙〉, 《물리산책》

같이 보기

• 만유인력
• 중력
• 벡터
• 점질량

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