의 크기는 질량과 거리에 관계없이 항상 같다. G는 중력상수이다.
만유인력의 법칙(萬有引力法則, law of universal gravity)은 질량을 가진 물체사이의 중력끌림을 기술하는 물리학 법칙이다. 이 법칙은 아이작 뉴턴의 1687년 발표 논문 〈자연철학의 수학적 원리, 혹은 프린키피아(Principia)〉를 통해 처음 소개된 법칙이다. 현대의 용어를 사용하여 이 법칙을 기술하자면 다음과 같다.
모든 점질량은 두 점을 가로지르는 선을 따라 다른 모든 점질량을 힘으로 끌어 당긴다. 이 힘은 두 상호작용하는 점질량 사이의 질량의 곱에 비례하며, 두 점질량 사이의 거리에는 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
F = G ∙ m₁m₂/r²
여기서
- F : 두 점질량 간의 중력의 크기
- G : 중력 상수,
- m₁ : 첫 번째 점질량의 질량
- m₂ : 두 번째 점질량의 질량
- r : 두 점질량의 거리
뉴턴은 이 법칙을 그의 운동의 제2법칙에 넣어 행성의 가속도를 구할 수 있었고, 이를 통해 행성의 궤도가 타원형임을 증명할 수 있었다. 더욱이 뉴턴은 중력이 행성의 진로 뿐만 아니라, 달의 세차 운동, 혜성의 운동, 은하수의 생성 및 빛의 굴절 등에도 적용되는 매우 일반적인 힘의 하나임을 인식하였다. 이것이 바로 뉴턴이 중력을 만유인력(universal force)라 부르게 된 이유이다.
벡터 형태
뉴턴의 만유인력의 법칙의 벡터 형태의 도식화. 여기서 O는 임의의 원점이다.
뉴턴의 만유인력의 법칙은 중력의 크기뿐만 아니라 방향까지 고려하기 위해 벡터로 나타내면 다음과 같은 벡터 방정식이 된다.
여기서,
F₁₂: 물체 1이 물체 2에 가하는 힘
G : 중력 상수
m₁, m₂ : 물체 1과 2의 질량
|r₁₂| = |r₂ - r₁| : 물체 1로부터 2까지의 거리
점질량이 아닌 경우
엄밀히 말하자면, 위의 식들은 점질량에 대해서만 적용이 가능하다. 하지만 중력장이 선형장, 즉 특정 위치에서의 중력의 합력은 다른 질량에 의한 중력을 모두 합하면 된다고 보면, 이를 구할 수 있다. 밀도 ρ₁를 갖는 임의의 질량 분포가 점질량 m₂에 미치는 중력을 구해 보면
가 된다. 여기서 r'은 임의의 원점으로부터의 방향 벡터, dv'은 그 위치의 임의의 부피요소를 말한다.
임의의 두 질량 분포 사이의 중력의 경우, 위와 비슷하게, 어느 한 임의의 부피요소에 미치는 중력의 크기를 위의 식을 통해 구하고, 다시 이를 적분하면 중력을 구할 수 있지만 몇몇 특정한 경우를 제외하면 매우 복잡한 계산을 필요로 한다.
역제곱의 법칙
역제곱의 법칙, S에서부터 거리가 멀어질수록, 단위 면적을 지나가는 선의 개수가 줄어든다. 이때 줄어드는 비율은 거리의 제곱에 반비례한다.
만유인력의 가장 큰 특징은 중력이 두 물체 사이 거리의 제곱에 반비례한다는 점이다. 물리학에서는 이처럼 어떤 물리량이 거리의 제곱이 반비례하는 경우가 간혹 있는데, 이를 역제곱의 법칙(inverse square law)이라고 부른다. 뉴턴은 [프린키피아] 1권에서 행성이 역제곱의 힘을 받는다는 가정하에 케플러의 세 가지 법칙을 유도했다. 또한 힘이 정확하게 거리의 제곱에 반비례하면 그 궤도는 닫힌 궤도임을 쉽게 보일 수 있다.
그렇다면 중력은 왜 거리의 제곱에 반비례할까? 중력을 직관적으로 이해하기 위해서 우선 큼직하고 둥근 사과를 하나 준비하자. 이 사과의 중심을 향해 가늘고 기다란 바늘을 여러 개 꽂는다. 바늘은 최대한 많이, 사과 표면에 고루 꽂을수록 좋다. 단, 모든 바늘은 사과의 중심을 향하도록 꽂아야 한다. 아마도 여러분의 사과는 고슴도치가 바늘을 곧추세우고 자기 몸을 둥그렇게 만 것과 비슷해 보일 것이다.
사과를 지구라고 생각하면, 지구가 자기 주변에 미치는 중력은 여러분이 꽂은 바늘과 같이 사방으로 뻗어나간다. 그래서 바늘이 촘촘할수록 중력은 더 세진다. 만약 여러분이 지구가 아닌 달의 중력을 표현하려고 한다면 바늘의 개수를 1/6로 줄이면 된다. (달의 반지름은 지구의 약 27%, 질량은 1.2%이므로 만유인력의 법칙을 이용하면 달 표면에서의 중력은 지구 표면에서보다 1/6의 값을 갖는다.)
이제 사과보다 두 배 정도 되는 투명한 공이 바늘이 꽂힌 사과를 감싸고 있다고 생각해 보자. 투명구와 사과의 중심을 잘 맞추면 사과에 꽂힌 바늘은 투명구를 뚫고 여전히 방사형으로 뻗어나갈 것이다. 그러나 사과 표면과 투명구의 표면을 비교하면 한 가지 다른 점이 있다.즉, 바늘이 사과 표면에 훨씬 더 촘촘히 박혀있다. 이것을 좀 더 정량적으로 말하자면, 사과 표면의 단위면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수는 투명구 표면의 단위면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수보다 많다. 그러니까, 사과 표면에서의 중력이 투명구 표면에서의 중력보다 더 세다. 그리고 바늘이 많은 정도는 정확하게 사과 표면의 넓이가 투명구의 표면적보다 작은 정도이다. 투명구는 사과보다 반지름이 두 배가 크기 때문에 그 표면적은 네 배 넓다. 달리 말하면 같은 넓이를 뚫고 지나가는 바늘의 개수는 네 배 적다. 이로부터 우리는 중심에서 두 배 멀어지면 중력은 네 배 줄어듦을 알 수 있다. 이것이 바로 역제곱의 법칙이다.
참고자료
같이 보기
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