텐서

텐서(tensor)는 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양이다. 물리 현상을 기술하기 위해 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야 하기 때문에 이를 위해 만들어진 일반화된 좌표계이다.

텐서의 어원은 탄성변형(彈性變形)의 변형력(應力)의 일종인 장력(張力)의 영어명 'tension'이다. 밀도가 균일한 구상탄성체(球狀彈性體)에 한 방향의 장력을 작용시키면 변형하여 타원체 ∑aijxixj＝c(xi 등은 3차원공간 좌표, c는 상수) 가 되고 9개의 계수 aij가 하나의 텐서의 성분이 되는데, 이는 변형력 그 자체가 텐서량이기 때문이다.

텐서의 개념은 수학, 특히 물리학에서 중요한 의미를 가진다. 수학 특히 기하학에서는 그 연구의 편의상 좌표(기본 벡터)라는 개념을 사용한다. 그러나 연구 목적은 어디까지나 편의적인 것에 지나지 않는다. 따라서 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야만 한다.

물리학에서도 여러 가지 관측계(觀測系)를 사용한다. 그러나 물리학적 법칙이라고 하는 것은 개개의 관측계와는 무관계한 것이어야 한다. 그런데 어떤 벡터의 성분이 어떤 기본 벡터에 관하여 0이라고 하자. 예를 들어 Ti'j＝0이라고 하자. 그렇다면 다른 어떤 기본 벡터에 대해서도 Ti'j＝0이어야 하며, 이 법칙은 모든 기본 벡터에 대해서도 성립한다. 또한, 텐서의 상등도 Aijk=Bijk는 Aijk－Bijk=0으로 쓸 수 있으므로 기본 벡터를 취하는 방식에는 무관계하다.

미분기하학이나 상대성이론 등에서의 법칙은 모두 이 형식으로 표현되어 있다. 예를 들면 '전자기장의 기초방정식(맥스웰방정식)은 로런츠변환에 대해서 불변인 형식으로서는 텐서방정식으로 나타내지며, 아인슈타인의 중력장(重力場)의 법칙은 리치의 텐서＝0이라는 형식으로 표현된다'는 것 등이다.

선형대수학에서, 다중선형사상(multilinear map)또는 텐서(tensor)는 선형 관계를 나타내는 다중선형대수학의 대상이다. 19세기에 카를 프리드리히 가우스가 곡면에 대한 미분 기하학을 만들면서 도입하였다. 기본적인 예는 내적과 선형 변환이 있으며 미분 기하학에서 자주 등장한다. 텐서는 기저를 선택하여 다차원 배열로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 변환 법칙이 존재한다. 텐서 미적분학에서는 리치 표기법, 펜로즈 표기법, 지표 표기법, 비교적 단순한 문맥에서 사용하는 아인슈타인 표기법 등의 다양한 표기법을 사용하여 텐서를 구체적으로 나타낸다.

물리학에서 텐서

응력 텐서의 기하학적 표현

텐서는 스칼라와 벡터를 일반화 한 것으로 물리 분야에서 일반 상대성, 전기역학, 스트레스, 스트레인, 관성 모멘트 등에서 중요하다. 텐서는 성분으로 나타낼 수 있으며 성분은 좌표 변환에서 특정한 방식으로 변환한다.

물리학에서는 좌표계를 도입하여 시간과 공간에 좌표를 주고 좌표를 통해 물리 법칙을 설명함으로써 자연현상을 설명하는 경우가 많다. 물리량의 설명에는 공간과 시간의 개념이 필요하다. 전하량이나 질량과 같은 물리량을 이해하는 데에서도 시간과 공간에 따른 이동 등의 특성을 파악하는 것이 효과적이다. 물리량이 만족하는 물리 법칙은 특정 좌표계와 무관하게 기술할 필요가 있는데 물리 법칙을 텐서를 이용하여 표현하면 좌표계와 무관하게 물리 법칙을 기술할 수 있게 된다.

벡터 공간 V 와 그 쌍대 공간 V* 에 대하여 음이 아닌 정수 m, n마다 (m, n)형의 텐서는 벡터 공간

의 원소로 정의된다. 즉, 벡터인 것이다. 여기에서 텐서곱 ⊗은 외적의 일반화로 생각하여 대략 다음과 같은 연산이다.

텐서곱의 유일성

F 위의 벡터 공간 V, W, V ⊗ W 에 대하여 쌍선형 변환

φ : V × W → V ⊗ W

는 아래의 보편 성질을 갖는다.

임의의 벡터 공간 Z에 대하여 임의의 쌍선형 변환

h : V × W → Z

은 선형 변환

h- : V ⊗ W → Z

이 유일하게 존재하여

h = h- o φ

이다. 이 조건으로 텐서곱 ⊗이 유일하게 정의되며, 따라서 유한 차원 벡터 공간 V 에 대하여 텐서의 벡터 공간은 다중선형 공간과 자연 동형이다

여기에서 V ≅ V**' 이다.

변환법칙

유사텐서인 3차원 레비치비타 기호를 다차원 배열로 나타낸 모습

아인슈타인 표기법을 사용하면 (m, n)형의 텐서는 기저

를 선택하여 m+n 차원 배열

와 같이 나타낼 수 있다. 다른 기저

를 선택하면 기저 f에 의존하지 않는 변환 법칙

을 적용 할 수 있다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank), n을 공변 계수(covariant rank)라 하며 m+n을 총 계수(total rank)라 한다. 기저의 선택에 의존하는 행렬, 위치 벡터, 유사 텐서 등은 텐서의 표현 방식이고, 기저의 선택이 없으면 텐서라고 부를 수 없다. 마찬가지로 위치 벡터 또한 기저의 선택이 없으면 벡터라고 부를 수 없다. 스칼라와 벡터는 텐서이며 텐서는 스칼라와 벡터를 일반화 한 것이다.

참고자료

• 〈텐서〉, 《물리학백과》
• 〈텐서〉, 《두산백과》

같이 보기

• 스칼라
• 벡터
• 장력

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