기하평균

기하평균(幾何平均, geometric mean)은 n개의 양수가 있을 때, 이들 수의 곱의 n제곱근 값이다.

개요

기하평균은 통계 집단에서 추상적인 계산 대표 값의 한 종류이다. 변량 변동률의 평균을 계산하는 데 사용된다. 예를 들어 2와 8의 기하평균은 4이다. 3이 6으로 바뀌면 2배로 증가한 것이고, 6이 48로 바뀌면 8배로 증가한 것인데, 2와 8의 기하 평균인 4를 3에 두 번 곱하면 48이 된다. 기하평균에는 단순 계열과 도수(度數) 계열이 있는데, 어느 경우나 실제 계산에서는 대수를 취한 것을 공식으로 이용한다. 여러 개의 수를 연속으로 곱해 그 개수의 거듭제곱근으로 구한 수. 흔히 인구성장률이나 경제성장률을 구할 때 적용된다. 기하평균은 집단의 변량에 부(負)의 값이 나타나지 않을 경우에 한해서 이용되며, 다소 계산이 복잡하나 변량의 극단적인 값의 영향을 받지 않는다. 기하평균은 주어진 n개의 양수의 곱의 n제곱근의 값을 말한다. 만약 위의 예와 같이 세 개의 양수 a1, a2, a3가 주어졌다고 하면 세 수의 곱의 세제곱근인 기하평균이다. 마찬가지로 n개의 양수 a1, a2, … ań이 있을 때, 이들 수의 곱의 n제곱근의 값이 기하평균이 된다. n개의 정수 a1, a2…… an의 상승적(相乘積)의 n 승근(乘根)이며 곧 n√a1 a2 … an 평균은 상승평균(相乘平均)이다. N사례에 대한 기하평균은 N개의 측정치의 상적(相積)에 대한 N평방근이 된다. 즉, 기하평균을 Mg라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있으며 측정치가 두 개 이상이 되는 경우는 그 계산이 복잡하므로 다음과 같다.

대수함수를 취하면 그 계산이 편리하다. 이 기하평균의 적용은 평균변화율이나 비율 또는 성장률 등의 계산, 그리고 분포가 극단적인 정적 편포(正的偏布)를 이룰 때 적합하나 분포점수에 0이나 음수(陰數)가 있는 경우에는 적용될 수 없다.

적용 및 비교

N개의 양수 a1, a2, … ań의 기하평균과 산술평균 관계

기하평균은 넓이, 부피, 비율 등 곱으로 이루어지는 값들의 평균을 구하는 데 주로 사용된다. 직사각형의 넓이를 결정하는 가로와 세로의 길이의 기하평균은 동일한 넓이의 정사각형의 한 변의 길이를 의미하고, 직육면체의 부피를 결정하는 가로, 세로, 높이 세 값의 기하평균은 동일한 부피의 정육면체의 한 모서리의 길이를 의미한다. 이를 응용하면 최근 5년간의 물가상승률의 기하평균을 구함으로써, 한 해의 평균적인 물가상승률을 구할 수 있다. 우리가 흔히 사용하는 '평균'의 개념은 사실 모든 수를 더해 그 갯수만큼 나누는 산술평균이다. 기하평균은 항상 산술평균보다 작거나 같다. 즉 n개의 양수 a1, a2, … ań의 기하평균과 산술평균은 다음과 같은 관계를 가진다.

예를 들어 다음과 같이 가로 16m, 세로 2m, 높이 2m 크기의 직사각형 수조에 물이 가득 담겨있다. 이 물의 부피를 구하면 16x2x2=64㎥가 된다. 그런데 만약 이 물을 이렇게 긴 형태의 수조가 아닌 정육면체 형태의 수조에 딱 맞게 담으려면 정육면체 수조의 크기는 얼마가 되어야 할까? 정육면체 수조의 한 모서리의 길이를 x라고 하면, 정육면체 수조의 부피는 x3이 된다. 여기서 양수 x의 값을 구하기 위해 방정식을 풀면 다음과 같다.

• x3=16x2x2=64
• x=3√64
• x=3√43
• x=4

이렇게 한 모서리의 길이가 4m인 정육면체 수조의 부피를 구해보면, 4x4x4=64㎥로 원래 수조의 부피와 동일함을 알 수 있다. 이때 정육면체의 한 모서리의 길이 4를 첫 번째 수조의 가로, 세로, 높이인 16, 2, 2라는 세 숫자의 기하평균이라 한다.

기하평균의 필요성

곱셈으로 계산하는 값에서의 평균을 계산하고자 할 때 산술 평균이 아닌 기하 평균을 사용한다. 예를 들어 어떤 값이 처음에 1000이고, 첫 해에 10% 증가하고, 그 다음 해에 20% 증가하고, 그 다음 해에 15% 감소했다고 할 때 결과 값은 처음의 값 1000에 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균을 세 번 곱한 값이 된다. 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균 (1.1 × 1.2 × 0.85)1/3 = 1.0391...이므로, 3년동안 평균 3.91%씩 증가한 셈이다. 즉, 1000 × 1.1 × 1.2 × 0.85 = 1000 × (1.0391)3이다.

기하평균⸱산술평균⸱조화평균의 차이

• 기하평균은 산술평균은 합의 평균이고, 기하평균은 곱의 평균이다. 예를 들어 첫번째 해에는 5%, 두 번째 해에는 10% 증가했다. 연평균 증가율 r로 2년 연속 증가한 값과, 5%, 10% 로 두 번 증가한 값이 같아야 한다. 이 예제를 일반화하면, 두 수 a, b의 기하평균이다. 곱의 평균을 기하 평균이라고 부르는 이유는, 기하의 비례식에서 유래하였기 때문인데, 예를 들어, 반원에서 직각 삼각형의 닮음식은 a : p = p : b이고, 여기서 p 가 a, b의 기하평균이다. 또다른 예로, 변의 길이가 a와 b인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한변의 길이는 a, b의 기하평균이다.
• 산술평균(算術平均, arithmetic mean)은 우리가 알고 있는 평균이다. 값을 모두 더하고, 기준이 되는 것의 개수로 나눈다. 예를 들어 두 수 a, b의 산술 평균은 이다.
• 조화평균(調和平均, harmonic mean)은 '역수의 산술평균의 역수'이다. 역수의 차원에서 평균을 구하고, 다시 역수를 취해 원래 차원의 값으로 돌아오는 것이다. 예를 들어 갈 때 10m/s, 올때 20m/s로 주행하였다. 10과 20의 산술평균인 15는 답이 아니다. 갈 때와 올 때 투여한 시간이 다르기 때문이다. 여기서는 시간의 차원에서 평균을 구해야 한다. 거리를 속력으로 나누면(역수), 시간인데, 이 시간의 평균을 구한 후에, 구한 시간 값에 대해, 다시 속력으로 바꾼 것이 평균 속력이다. 거리를 S라 하고, 시간에 대해 식을 세우면, S/10 + S/20 =2S/x이다. 이 예제를 일반화하여, 갈 때 속력을 a, 올 때 속력을 b라 하여 정리하면, 조화평균은 x = 2ab/a+b이다. 역수의 평균의 역수를 조화평균(harmonic mean)이라고 부르는 이유는, 음악의 화음(harmony)에서 이 평균을 찾을 수 있기 때문이다. 화음은 주파수가 1:2:3과 같이 간단한 정수 간격을 이룰 때 발생하는데, 현의 길이는 주파수의 역수이다. 즉 화음을 이루는 현의 길이를 구하기 위해서는, 역수(주파수)의 평균을 구하고, 다시 그 값의 역수(현의 길이)로 되돌아온다.

기하평균 수익률 높이기

포트폴리오의 기하수익률을 높이기 위해 비중을 조절해 투자하는 방법은 '섀넌의 도깨비'라고 불리는 '균형 복원 포트폴리오'가 대표적인 예다. '클로드 섀넌(Claude Elwood Sha-nnon)'은 미국의 응용수학자이자 컴퓨터과학자다. 그는 최초로 0과 1의 2진법으로 구성된 '비트(bit)'라는 용어를 만들고 비트를 통해 문자와 소리, 이미지 등의 정보를 전달하는 방법을 고안했다. 또한, 그는 <수학적 커뮤니케이션 이론, The Mathematical Theory of Communication>을 발표해서 정보이론의 기초를 확립했다. 섀넌은 이 논문에서 전화선 등을 통해 소리와 같은 정보가 전달될 때 자연적으로 각종 오류와 노이즈가 발생할 수밖에 없다고 하는 통념을 깨고, 디지털화된 정보가 잡음 없이 원하는 장소에 정확하게 전달될 수 있음을 이론적으로 증명했다. 그는 미국의 전자통신시대 시작의 중심에 있었으며 '디지털의 아버지'라고 불렸으며 인류가 최초로 컴퓨터를 발명하게 된 하드웨어적인 창시자가 앨런 튜링이라면 소프트웨어적인 창시자는 클로드 섀넌이라고 할 수 있다. 섀넌은 수학, 컴퓨터, 인공지능, 암호학, 엔트로피 이론 등에 많은 업적을 남겼으며 섀넌의 '정보이론'은 노이즈 속에 숨어있는 정보에 관한 것으로, 현대 통신의 이론적 기반을 제공한다. 정보이론과 주식투자는 얼핏 보기에는 별 상관이 없어 보이지만 노이즈 속에 숨어있는 정보에 집중한다는 주제에서 접점이 있다. 섀넌은 주식투자에도 많은 관심을 기울였는데, 그중 '섀넌의 주사위게임', '섀넌의 도깨비'라고 불리는 '균형 복원 포트폴리오'가 유명하다. 섀넌은 랜덤워크(Random Walk)로 움직이는 주식시장에서 포트폴리오 분산과 조정을 통해 시장의 평균수익률을 이길 수 있는 방법을 제시했다. 섀넌의 주장은 주가는 랜덤워크를 따르며 그래서 시장은 합리적이라는 효율적 시장가설을 정면으로 반박하는 것이었다. 아주 단순한 동전 던지기 게임을 생각해본다. 이 동전던지기 게임은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 반반이며, 투자자는 동전을 던져서 앞면이 나오면 2배를 받고, 뒷면이 나오면 반만 돌려받는 게임을 계속한다. 즉, 매번 100%의 이익을 보거나 50%의 손실을 본다. 예를 들어 100원의 투자금으로 동전던지기 게임을 시작하면, 앞면이 나오면 100원을 획득하게 돼서 200원이 되고, 뒷면이 나오면 50원이 된다. 이 게임의 산술평균 기댓값은 1.75이지만 기하평균 기댓값은 1.0이다. 동전던지기 게임을 무한대로 시뮬레이션 해볼수록 기하평균 기댓값에 수렴하고 원금이 그대로인 것을 알 수 있으며, 동전던지기의 특성상 이 게임은 랜덤워크를 따른다고 할 수 있다.

참고자료

• 〈기하평균〉, 《위키백과》
• 〈기하평균〉, 《네이버 국어사전》
• 〈기하평균〉, 《두산백과》
• 〈기하평균〉, 《교육학용어사전》
• 〈기하평균〉, 《용어해설》
• 〈수학 용어를 알면 개념이 보인다 - 081. 산술평균 vs 기하평균 vs 조화평균〉, 《위키독스》
• 〈'섀넌의 도깨비' 투자비중 조절로 기하평균 수익률 높이기〉, 《치과신문》, 2021-04-22
• 황병우 기자, 〈폐구균백신 세대교체 노리는 화이자...영유아 허가 우선검토〉, 《메디칼타임즈》, 2023-01-10

같이 보기

• 기하
• 평균
• 기하학
• 통계
• 계산
• 집단
• 조화평균
• 산술평균
• 산술기하평균

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